2.3 Задание к.7. Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки

Материальная точка М движется относительно движущегося тела D. Определить для момента времени t = t₁ абсолютные скорость и ускорение точки М по заданным уравнениям относительного движения точки М и уравнениям движения тела D. Исходные данные, необходимые для расчета, приведены в таблице 7, а схемы механизмов приведены в таблице 8.

Примечания

1. Для каждого варианта положение точки М на схеме соответствует положительному значению s_r.

2. В вариантах 5, 10, 12, 13, 20–24, 28–30 ОМ = s_r – дуга окружности.

3. На схемах 5, 10, 12, 21, 24 ОМ – дуга, соответствующая меньшему центральному углу.

4. Относительное движение точки М в вариантах 6 и 27 и движение тела D в вариантах 23 и 29 определяются уравнениями, приведенными в последнем столбце.

Таблица 7 – Исходные данные к заданию К.7

Вариант	Уравнение относительного движения точки М OM = sr = sr(t), см	Уравнение движения тела		t1, с	R, см	а, см	, град	Дополнитель-ные данные
		φe = φe(t), рад	xe = xe(t), см
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	18sin(t/4)	2t3 – t2	–	2/3	–	25	–
2	20sin(t)	0,4t2 + t	–	5/3	20	–	–
3	6t3	2t + 0,5t2	–	2	–	30	–
4	10sin(t/6)	0,6t2	–	1	–	–	60
5	40cos(t/6)	3t – 0,5t3	–	2	30	–	–
6	–	–	3t + 0,27t3	10/3	15	–	–	φr = 0,15t3
7	20cos(2t)	0,5t2	–	3/8	–	40	60
8	6(t + 0,5t2)	t3 – 5t	–	2	–	–	30
9	10(1 + sin(2t))	4t + 1,6t2	–	1/8	–	–	–
10	20cos(t/4)	1,2t – t2	–	4/3	20	20	–
11	25sin(t/3)	2t2 – 0,5t	–	4	–	25	–
12	15t3/8	5t – 4t2	–	2	30	30	–
13	120t2	8t2 – 3t	–	1/3	40	–	–
14	3 + 14sin(t)	4t – 2t2	–	2/3	–	–	30
15	(t2 + t)	0,2t3 + t	–	2	–	60	45
16	20sin(t)	t – 0,5t2	–	1/3	–	20	–
17	8t3 – 2t	0,5t2	–	1	–		–
18	10t + t3	8t – t2	–	2	–	–	60
19	6t + 4t3	t + 3t2	–	2	40	–	–
20	30cos(t/6)	6t + t2	–	3	60	–	–
21	25(t + t2)	2t – 4t2	–	1/2	25	–	–
22	10sin(t/4)	4t – 0,2t2	–	2/3	30	–	–
23	6t2	–	–	1	18	–	–	φ = t3/6; O1O = O2A = 20 см
24	75(0,1t + 0,3t3)	2t – 0,3t2	–	1	30	–	–
25	15sin(t/3)	10t – 0,1t2	–	5	–	–	–
26	8cos(t/2)	–2t2	–	3/2	–	–	45
27	–	–	50t2	2	75	–	–	φr = 5t3/48
28	2,5t2	2t3 – 5t	–	2	40	–	–
29	5t3/4	–	–	2	30	–	–	φ = t3/8; O1O = O2A = = 40 см
30	4t2	–	t3 + 4t	2	48	–	–

Таблица 8 – Схемы механизмов к заданию К.7

Продолжение таблицы 8

Продолжение таблицы 8

Пример выполнения задания.

Даны схема механизма (рисунок 5а) и следующие исходные данные:

s_r = OM = 5(1 + cos(2t)), см; φ_e = 2t + 3t², рад; t₁ = 1/3 с.

Рисунок 5 – Схема механизма (а) и схемы для определения абсолютной скорости (б) и ускорения (в)

Решение.

1. Определение положения точки М на теле D в момент t₁. Относительное движение точки М по телу D определяется дуговой координатой s_r = OM . В момент времени t₁ = 1/3 с

s_r = OM = 5(1 + cos(2/3)) = 5(1 – 0,5) = 2,5 см.

Положение тела D определяется угловой координатой φ_e. В момент t₁

φ_e = 2/3 + 3(1/3)²= 1 рад.

Положение тела и точки на нем в момент времени t₁ показано на рисунке 5б.

2. Определение абсолютной скорости точки М. Абсолютная скорость точки определяется как геометрическая сумма относительной и переносной скоростей: .

Модуль относительной скорости равен , де.

В момент времени t₁: см/с; см/с.

Положительный знак алгебраической величины показывает, что вектор относительной скорости направлен в сторону возрастания s_r.

Модуль переносной скорости равен , где _e – модуль угловой скорости тела в его переносном вращении;

; .

В момент времени t₁ рад/с; рад/с.

Положительный знак алгебраической величины показывает, что вращение тела D происходит в направлении отсчета угловой координаты φ_e (рисунок 5б). Вектор направлен по оси, проходящей через точку О и нормальной плоскости вращения. Поэтому на рисунке 5б вектор , направленный на наблюдателя, проецируется в точку.

Теперь можно определить модуль переносной скорости:

см/с.

Вектор переносной скорости направлен из точки М перпендикулярно ОМ в направлении вращения тела D (согласно ).

Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то модуль абсолютной скорости точки М можно определить как

см/с.

Направление вектора абсолютной скорости показано на рисунке 5б.

3. Определение абсолютного ускорения точки М. Абсолютное ускорение точки при сложном движении равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:

или ,

где , – касательная и нормальная составляющие относительного ускорения;

–вращательная и центростремительная составляющие переносного ускорения.

Модуль относительного касательного ускорения равен

, где .

В момент времени t₁: см/с², см/с². Положительный знак показывает, что вектор направлен в сторону возрастания дуговой координаты s_r. А так как знаки и одинаковы, то относительное движение точки М ускоренное (рисунок 5в).

Модуль относительного нормального ускорения , так как траекторией относительного движения является прямая и радиус ее кривизны  = 0.

Модуль переносного вращательного ускорения:

, где – модуль углового ускорения тела в его переносном движении: рад/с².

Так как знаки алгебраических величин и одинаковы и , то вращение тела D равноускоренное. Вектор направлен так же, как и . Тогда см/с².

Вектор направлен так же, как и (рисунок 5в).

Модуль переносного центростремительного ускорения:

см/с².

Вектор направлен к центру вращения, к точке О.

Кориолисово ускорение по определению равно

, а его модуль равен .

В данном случае и . С учетом этого см/с².

Расположение и направление вектора соответствует определению векторного произведения векторов (см. рисунок 5в). Вектор расположен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы сомножители, и направлен в ту сторону, откуда виден поворот (на меньший угол) первого сомножителя ко второму против вращения часовой стрелки.

Модуль абсолютного ускорения точки найдем способом проекций. Для этого проведем координатные оси x и y (см. рисунок 5в) и спроецируем на них составляющие вектора ускорения:

см/с²; см/с².

Тогда см/с².