2.2 Выбор желаемой лачх

Построение желаемой ЛАХ удобно первоначально осуществлять раздельно в низкочастотном (I), среднечастотном (II) и высокочастотном (III) диапазонах.

2.2.1 Построение ЛАХ в низкочастотном диапазоне

На низкочастотном участке, где вид определяется в основном требованиями к точности регулирования, а следовательно, величиной коэффициента усиления системы, порядком ее астатизма, значением коэффициента ошибки и т.д.

Если в системе, отрабатывающей ступенчатый входной сигнал , допустимая статическая ошибка не должна превышать значения , то величина коэффициента усиления разомкнутой скорректированной системы:

.

При этом на участке низких частот желаемая ЛАХ проводится параллельно оси абсцисс с ординатой . В случае, когда статическая ошибка недопустима ( = 0), то скорректированная система должна быть астатической.

Если в астатической системе с астатизмом первого порядка требуется обеспечить слежение за сигналом , то ее коэффициент усиления определяется величиной максимально допустимой ошибки по скорости :

.

При этом уравнение низкочастотного участка желаемой ЛАХ:

.

При синтезе следящих систем, входной сигнал которых заранее неизвестная функция времени, обычно указываются только максимально возможные значения скорости и ускорения входного сигнала и задаются требованием к величине максимально допустимой динамической ошибке регулирования . В этом случае подбирается эквивалентное гармоническое воздействие , амплитуда a и частота которого определяется значениями и :

, и . (2.1)

При воспроизведении линейной следящей системой эквивалентного гармонического воздействия ошибка регулирования также будет гармонической с той же частотой. Следовательно:

Полагая , имеем

,

откуда с учетом выражения (2.1):

,

или, логарифмируя последнее выражение получаем окончательно

. (2.2)

Из выражения (2.2) следует, что эквивалентное входное воздействие будет воспроизводиться следящей системой с ошибкой, не превышающей , если при ордината желаемой ЛАХ будет не менее

.

Точку К с координатами ( ; ) называют контрольной точкой (рис. 3).

На этом рисунке указаны две прямые, пересекающиеся в точке К, имеющие наклон -20 дБ/дек при и -40 дБ/дек при . Уравнения этих прямых получены на основании выражения (2.2) при уменьшении скорости и ускорения входного сигнала по отношению к их максимально возможным значениям. Данные прямые представляют собой границы запретной зоны для желаемой ЛАХ следящей системы с астатизмом первого порядка.

2.2.2 Построение ЛАХ в среднечастотном диапазоне

На среднечастотном участке желаемая ЛАХ в наибольшей степени зависит от требования к динамическим показателям качества регулирования, например, частотному показателю колебательности, времени регулирования и перерегулированию. На этом участке находится частота среза и определяется запас устойчивости по фазе.

Если качество регулирования системы оценивается по величине перерегулирования и времени регулирования , то, задавшись максимально допустимыми значения указанных показателей и , следует воспользоваться номограммой (рис. 4). По заданной величине перерегулирования (например, = 30 %), определяется величина :

,

где – частота среза желаемой ЛАХ. (Значению = 30 % на номограмме соответствует Pмакс = 1,28.) Поскольку допустимое значение задано, то можно вычислить необходимую частоту среза:

.

Рисунок 4 Номограмма для определения частоты среза желаемой ЛАХ

Вид желаемой ЛАХ в среднечастотном диапазоне должен гарантировать необходимый запас устойчивости системы по фазе, что в максимальной степени обеспечивается, когда в районе частоты среза имеет достаточно протяженный участок с наклоном -20 дБ/дек. Типы четырех возможных ЛАХ, удовлетворяющих этому условию, приведены в таблице 1. ЛАХ типа А и С соответствуют статическим системам, а ЛАХ типа B и D - астатическим системам с астатизмом первого порядка.

Таблица 1. Типовые ЛАХ.

Тип ЛАХ	Наклоны асимптот, дБ/дек
	Низкочастотный участок	Сопряженный участок	Среднечастотный участок	Высокочастотный участок
А	0	- 40	- 20	- 40
B	- 20	- 40	- 20	- 40
C	0	- 40	- 20	- 60
D	- 20	- 40	- 20	- 60

Для ЛАХ (рис. 5) примем следующие обозначения: – протяженность среднечастотного участка ; – протяженность участка желаемой ЛАХ, по которому сопрягаются низкочастотный и среднечастотный участки .

Имеется несколько рекомендаций по выбору частот и . Например, выбирают и . Наиболее простой является рекомендация, согласно которой интервалы частот ( – ) и ( – ) принимают равными 0,5…0,9 декады.

Еще один подход к выбору протяженности среднечастотного участка накладывает ограничение на абсолютную величину и , которые должны быть не ниже значений, определенных по специальной номограмме (рис. 6), обычно эти значения находятся в пределах от 12 до 16 дБ.

Для заданного Pмакс по номограмме находятся необходимые значения запасов устойчивости по модулю h⁺ и по фазе . При этом вначале вычисляется Pмин по формуле

Pмин = 1 – Pмакс.

Проводятся горизонтальные касательные к кривым с индексами Pмакс и Pмин, по которым определяются значения h⁺ и h^- в дБ. На рис. 6 для значений Pмакс = 1,28 и Pмин = 0,28 найдены значения h⁺ = 14 дБ и

h^- = - 14 дБ. Вертикальная касательная к кривым определяет необходимый запас устойчивости по фазе

= 40⁰.

Значения h⁺ и h^- определяют протяженность среднечастотного участка желаемой ЛАХ

= h⁺ , = h^-.

На указанном интервале частот фазо-частотная характеристика скорректированной системы не должна заходить в запретную область

.

Рисунок 6 Номограмма для определения запасов устойчивости по модулю h⁺ и по фазе .

Если качество регулирования системы оценивается по величине частотного показателя колебательности M, то для определения протяженности участков l и l₁ можно воспользоваться данными, приведенными в таблице 2.

Таблица 2. Зависимость колебательности M от значений l и l₁.

M	l	l1
		ЛАХ типа А	ЛАХ типа B	ЛАХ типа C	ЛАХ типа D
1,1	21,00	5,5	2,05	5,5	1,9
1,3	7,70	8,9	3,85	8,9	2,8
1,5	7,00	12,75	4,8	12,5	3,6
2,0	3,00	28,0	10,0	26,6	6,1
2,.5	2,33	42,0	14,1	40,0	7,2

Выбор граничных частот среднечастотного участка согласно приведенным рекомендациям дает несколько различные результаты. При окончательном их выборе следует исходить из того, что чем шире интервал частот ( ; ), тем лучше будет переходный процесс. Однако практическая реализация желаемой ЛАХ при этом усложняется и, кроме того, излишняя протяженность среднечастотного участка снижает динамичность системы.

2.2.3 Построение ЛАХ в высокочастотном диапазоне

Вид желаемой ЛАХ в высокочастотном диапазоне определяет, например, такой показатель, как помехоустойчивость системы, но на качество регулирования поведение в этой частотной области влияет в незначительной степени. Поэтому на участке высоких частот с целью упрощения корректирующего звена допустимо совпадение наклонов асимптот желаемой ЛАХ и ЛАХ исходной нескорректированной системы.