Автоматическое регулирование

Автоматический регулятор. Частным случаем управления является автоматическое регулирование. В состав системы автоматического регулирования входит автоматический регулятор — прибор, поддерживающий или изменяющий в соответствии с заданными условиями значения какой-либо величины.

Примеры систем автоматического регулирования.

Пример 1. Угловая скорость вращения вала двигателя внутреннего сгорания должна быть постоянной, однако это требование нарушается из-за изменения внешней нагрузки. Автоматический регулятор компенсирует возмущения, увеличивая или уменьшая количество горючей смеси, которое подаётся в цилиндр двигателя.

Пример 2. Термостат представляет собой сосуд, отделённый от окружающей среды оболочкой, препятствующей прохождению тепла. Терморегулятор поддерживает внутри термостата постоянную температуру.

Пример 3. Предохранительный клапан регулирует давление в паровом котле, компрессорной установке и т. п. В рычажных регуляторах давления груз прижимает клапан к отверстию при помощи рычага, в пружинных регуляторах давления клапан к отверстию прижимает пружина.

Пример 4. Уровень жидкости в сосуде регулируется при помощи поплавка, соединённого с рычагом, прижимающим клапан к отверстию, через которое в сосуд поступает жидкость.

Регулирование по отклонению. Самые простые системы автоматического регулирования замеряют величину, которую необходимо регулировать, и воздействуют на машину в зависимости от отклонения этой величины от заданного значения.

Структура автоматического регулятора. Компонентами автоматического регулятора служат датчик, измеряющий текущее значение регулируемой величины, задатчик - устройство, с помощью которого устанавливается требуемое значение регулируемой величины и компаратор (элемент сравнения). Компаратор сравнивает текущее значение регулируемой величины с требуемым значением и выдаёт сигнал рассогласования - отклонения текущего значения регулируемой величины от требуемого значения. Оно поступает на вход управляющего устройства, которое воздействует на объект управления.

Стационарный режим функционирования системы. Режим функционирования технической системы называется стационарным или установившимся, когда значение регулируемой величины практически не изменяется со временем.

Переходный процесс. Внешнее возмущение нарушает установившееся функционирование системы, и после прекращения влияния возмущения в ней обычно возникает переходный процесс, который продолжается до тех пор, пока она не вернётся в стационарный режим.

Качество системы автоматического регулирования. Качество системы автоматического регулирования характеризуется продолжительностью переходного процесса, максимальным отклонением регулируемой величины от заданного значения, количеством колебаний значения регулируемой величины и скоростью их затухания для возмущения, которое считается единичным.

Математическая модель системы автоматического регулирования. Модель системы автоматического регулирования строится из отдельных элементов, которые называются звеньями. Каждое звено содержит три компонента: вход, выход и системный блок. Обозначим значение сигнала, поступающего на вход звена в момент времени t через u ( t ), а состояние его выхода в этот момент времени (отклик) — через x ( t ). Связь сигнала с откликом описывается дифференциальным уравнением вида f ( x ( t ), x' ( t ),..., x⁽ⁿ⁾ ( t ), u ( t ), u' ( t ),..., u^(m) ( t )) = 0, оно называется динамической характеристикой звена.

Рабочая точка системы. Режим функционирования системы, при котором значения величин, характеризующих состояние системы, практически не меняются, называются рабочей точкой.

Статическая характеристика звена системы автоматического регулирования. Для того, чтобы найти параметры рабочей точки, в дифференциальное уравнение вместо производных не изменяющихся величин подставляют нули (напомним, что производная постоянной равна нулю). Дифференциальное уравнение превращается в алгебраическое или трансцендентное уравнение. Функциональная связь между x ( t ) и u ( t ), вытекающая из этого уравнения, называются статической характеристикой системы.

Линеаризация системы уравнений в окрестности рабочей точки. Уравнение называется линейным относительно переменных x, y, z,..., если в каждой его части стоит либо нуль, либо сумма произведений этих переменных на постоянные коэффициенты. Замена нелинейного уравнения линейным уравнением называется его линеаризацией. В ходе линеаризации уравнения вблизи рабочей точки величину x = x ( t ), значение которой в режиме рабочей точки не меняется, представляют в виде x₀ + Δx, x₀ – значение величины x, соответствующее рабочей точке, Δx = Δx (t ) - функция времени. Пусть линеаризуемое уравнение содержит нелинейную функцию f ( x ) (степенную, показательную, тригонометрическую и т. п.). По определению производной

f´( x ) = lim ( f ( x + Δx ) – f ( x ) ) / Δx

Δx → 0

следовательно, для малых значений Δx f ( x₀ + Δx ) – f ( x₀ ) приблизительно равно f' ( x₀ ) Δx. Поэтому выражение f ( x ) заменяют суммой f ( x₀ ) + f' ( x₀ ) Δx. В том случае, когда функция f зависит от нескольких переменных x, y, z, коэффициентами приращений её аргументов служат значения соответствующих частных производных:

f ( x₀ + Δx, y₀ + Δy, z₀ + Δz ) = ( ∂f / ∂x ) ( x₀, y₀, z₀ ) Δx + ( ∂f / ∂y ) ( x₀, y₀, z₀ ) Δy + ( ∂f / ∂z ) ( x₀, y₀, z₀ ) Δz.

Получается линеаризованная система дифференциальных уравнений относительно функций Δx ( t ), Δy ( t ), Δz ( t ), Δu ( t )... В дальнейшем знак Δ опускают и возвращаются к x, y, z, u,..., однако следует помнить, что в линеаризованных уравнениях эти буквы обозначают отклонения соответствующих величин от установившихся значений.

Гладкие сигналы и отклики. Будем считать, что функция u ( t ), характеризующая зависимость сигнала, поступающего на вход линейного звена, является гладкой (имеет производные любого порядка в каждой точке числовой прямой). Так как она непрерывна, то

u ( 0 ) = lim u ( t ) = 0.

t → 0

t < 0

Точно так же доказывается, что все производные функции u ( t ) в нуле равны нулю.

Передаточная функция линейного звена. Пусть сигнал и отклик линейного звена связаны друг с другом уравнением

a₀ x⁽ⁿ⁾ ( t ) + a₁ x^(n-1) ( t ) +…+ a_n-1 x' ( t ) + a_n x ( t ) = b₀ u^(m) ( t ) + b₁ u^(m-1) ( t ) +…+ b_m-1 u' ( t ) + b_m u ( t )

и x ( t ) - гладкий отклик линейного звена на гладкий сигнал u ( t ), Обозначим преобразования Лапласа функций x ( t ), u ( t ) через X ( s ) и U ( s ) соответственно, тогда

L { a₀ x⁽ⁿ⁾ ( t ) + a₁ x^(n-1) ( t ) +…+ a_n-1 x' ( t ) + a_n x ( t ) } = a₀ sⁿ X ( s ) + a₁ s^n-1 X ( s ) +…+ a_n-1 s X ( s ) + a_n X ( s ) = ( a₀ sⁿ + a₁ s^n-1 +…+ a_n-1 s + a_n ) X ( s ),

L { b₀ u^(m) ( t ) + b₁ u^(m-1) ( t ) +…+ b_m-1 u' ( t ) + b_m u ( t ) } = b₀ s^m U ( s ) + b₁ s^m-1 U ( s ) +…+ b_m-1 s U ( s ) + b_m U ( s ) = ( b₀ s^m + b₁ s^m-1 +…+ b_m-1 s + b_m ) U ( s ),

X ( s ) = (( b₀ s^m + b₁ s^m-1 +…+ b_m-1 s + b_m ) /

/ ( a₀ sⁿ + a₁ s^n-1 +…+ a_n-1 s + a_n )) U ( s ).

Алгебраическая дробь

W ( s ) = ( b₀ s^m + b₁ s^m-1 +…+ b_m-1 s + b_m ) /

/ ( a₀ sⁿ + a₁ s^n-1 +…+ a_n-1 s + a_n )

называется передаточной функцией линейного звена,

X ( s ) = W ( s ) U ( s ).

Асимптотически устойчивые линейные звенья. Линейное звено называется асимптотически устойчивым, если разность x ( t ) - y ( t ) любых двух откликов x ( t ), y ( t ) на один и тот же сигнал u ( t ) стремится к нулю, когда t стремится к бесконечности.

Признак асимптотической устойчивости линейного звена. Признак асимптотической устойчивости линейного звена: линейное звено асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда все вещественные части корней знаменателя его передаточной функции отрицательны.

Ветвление. Ветвлением называется линейное звено с одним входом и двумя выходами, сигнал, поступающий на вход ветвления воспроизводится на каждом выходе:

x₁ ( t ) = u ( t ),

x₂ ( t ) = u ( t ).

Сумматор. Сумматором называется линейное звено с двумя входами и одним выходом, отклик, формирующийся на выходе равен сумме сигналов, поступивших на вход:

x ( t ) = u₁ ( t ) + u₂ ( t ).

Последовательное соединение линейных звеньев. Соединим выход одного линейного звена со входом другого. Обозначим передаточную функцию первого линейного звена через W₁ ( s ), а передаточную функцию второго линейного звена — через W₂ ( s ). Пусть на вход первого линейного звена подаётся гладкий сигнал u ( t ), а на его выходе формируется гладкий отклик x ( t ), этот отклик служит сигналом второго звена. Обозначим через U ( s ) преобразование Лапласа сигнала u ( t ), через X ( s ) - преобразование Лапласа отклика x ( t ) и через Y ( s ) - преобразование Лапласа гладкого отклика y ( t ) на выходе второго линейного звена, тогда

X ( s ) = W₁ ( s ) U ( s ),

Y ( s ) = W₂ ( s ) X ( s ),

следовательно,

Y ( s ) = W₂ ( s ) W₁ ( s ) U ( s ):

при последовательном соединение двух звеньев их передаточные функции перемножаются.

Параллельное соединение линейных звеньев. Рассмотрим систему, состоящую из ветвления, двух линейных звеньев и сумматора. Входом системы служит вход ветвления, выходы ветвления соединены со входами линейных звеньев, их выходы - с входами сумматора, а выход сумматора — с выходом системы. Обозначим передаточную функцию первого линейного звена через W₁ ( s ), а передаточную функцию второго линейного звена — через W₂ ( s ). Пусть на вход первого ветвления подаётся гладкий сигнал u ( t ), он поступает на входы линейных звеньев, на выходе первого звена формируется гладкий отклик x ( t ), а на выходе второго звена — гладкий отклик y ( t ), U ( s ) - преобразование Лапласа сигнала u ( t ), X ( s ) - преобразование Лапласа отклика x ( t ), Y ( s ) - преобразование Лапласа отклика y ( t ), тогда

X ( s ) = W₁ ( s ) U ( s ),

Y ( s ) = W₂ ( s ) U ( s ).

Преобразование Лапласа отклика x ( t ) + y ( t ) на выходе сумматора равно X ( s ) + Y ( s ),

X ( s ) + Y ( s ) = ( W₁ ( s ) + W₂ ( s )) U ( s ):

при параллельном соединение двух звеньев их передаточные функции складываются.

Передаточная функция обратной связи. Рассмотрим систему, состоящую из сумматора, двух линейных звеньев и ветвления. Входом системы служит один из входов сумматора, выход сумматора соединён со входом первого линейного звена, выход первого звена соединён с ветвлением, один выход ветвления служит выходом системы, а второй соединён со входом второго линейного звена, выход второго линейного звена соединён со вторым входом сумматора. Обозначим передаточную функцию первого линейного звена через W₁ ( s ), а передаточную функцию второго линейного звена — через W₂ ( s ). Пусть на вход системы подаётся гладкий сигнал u ( t ), он поступает на один из входов сумматора, отклик x ( t ) на выходе сумматора подаётся на вход первого линейного звена, гладкий отклик y ( t ) на выходе первого линейного звена служит откликом системы, кроме того, он подаётся на вход второго линейного звена, на выходе второго линейного звена формируется гладкий отклик z ( t ), который поступает на второй вход сумматора, U ( s ) - преобразование Лапласа сигнала u ( t ), X ( s ) - преобразование Лапласа отклика x ( t ), Y ( s ) - преобразование Лапласа отклика y ( t ), Z ( s ) - преобразование Лапласа отклика z ( t ), тогда

Y ( s ) = W₁ ( s ) X ( s ),

Z ( s ) = W₂ ( s ) Y ( s ),

X ( s ) = U ( s ) + Z ( s ),

следовательно,

Y ( s ) = W₁ ( s ) ( U ( s ) + W₂ ( s ) Y ( s )) = W₁ ( s ) U ( s ) + W₁ ( s ) W₂ ( s ) Y ( s ),

( 1 - W₁ ( s ) W₂ ( s )) Y ( s ) = W₁ ( s ) U ( s ),

Y ( s ) = ( W₁ ( s ) / ( 1 - W₁ ( s ) W₂ ( s )) U ( s ):

передаточная функция обратной связи равна

W₁ ( s ) / ( 1 - W₁ ( s ) W₂ ( s )).