12. Свойства z-преобразования.

Рассмотрим некоторые свойства z-преобразования.

Свойство 1. Линейность. Z-образ суммы двух сигналов равен сумме z-образов этих сигналов.

Свойство 2. Свойство задержки. Пусть дан исходный дискретный сигнал , . Найдем z-преобразование сигнала , задержанного на отсчетов:

(12)

При выводе была введена переменная , тогда и получили, что задержка исходного сигнала на добавляет множитель к z-преобразованию сигнала. Тогда задержка на один отсчет соответствует .

Свойство 3. Теорема о свертке. Пусть дано два сигнала и . Найдем z-преобразование их круговой свертки.

При выводе было использовано свойство задержки z-преобразования. Таким образом z-преобразование свертки сигналов равно произведению их z-образов.

13. Обратное z-преобразование.

Соотношение для обратного z-преобразования можно вывести, используя теорему Коми. Согласно этой теореме

(2.89)

где интеграл берется против часовой стрелки по контуру С, окружающему начало координат.

z-преобразование определяется выражением

(2.90)

Умножая обе части (2.90) на и беря интеграл по контуру, окружающему начало координат и лежащему полностью в области сходимости X(z), получим

(2.91)

Меняя порядок интегрирования и суммирования в правой части равенства (2.91) (что допустимо в том случае, когда ряд сходится), получим

(2.92)

откуда согласно (2.89) . Следовательно, обратное z-преобразование дается контурным интегралом

(2.93)

где С — контур с направлением обхода против часовой стрелки, расположенный в области сходимости X(z) и окружающий начало координат на z-плоскости. Следует подчеркнуть, что при выводе (2.93) не делалось никаких предположений относительно того, положительны или отрицательны k и n в (2.91), и, значит, (2.93) справедливо как для положительных, так и для отрицательных п.

14. Применение z-преобразования.

X(z) = (b₀+b₁z+b₂z² + …+ b_Nz^N ) / (a₀+a₁z+a₂z² + …+ a_Mz^M ) = (8.4.1)

Описание дискретных систем обработки сигналов с помощью нулей и полюсов - наиболее широкая область использования z-преобразования. Степенной полином передаточной функции системы вида (8.4.1) с нулями n_i числителя и полюсами p_j знаменателя всегда может быть представлен в виде произведения сомножителей:

H(z) = K(z-n_i) /(z-p_j), (8.5.1)

где К – коэффициент передачи (усиления) входного сигнала. Полюсы и нули H(z) могут быть действительными и комплексными, при этом для обеспечения действительных значений коэффициентов a_i и b_j в (8.4.1) комплексные коэффициенты должны быть представлены комплексно сопряженными парами.

15. Приближенные способы перехода к дискретной передаточной функции.

16. Устойчивость дискретных систем, критерии устойчивости дискретных систем.

Критерий Гурвица для устойчивости импульсной системы необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения системы находились внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат