2.2 Нахождение передаточной функции системы по структурной схеме для случая одноконтурных и многоконтурных систем, в том числе систем с перекрестными связями

Метод прогонки сигнала.

Вычисление передаточной функции системы по заданной структурной схеме методом прогонки сигнала заключается в следующем:

1. на заданной структурной схеме указываются все проходящие в системе сигналы;

2. составляется система уравнений относительно выходных сигналов для всех звеньев системы управления;

3. в уравнение относительно выходного сигнала всей системы управления последовательно подставляются уравнения системы таким образом, чтобы исключить все проходящие сигналы;

4. из полученного уравнения относительно выходного и входного сигналов системы получаем передаточную функцию путем деления выходного сигнала на входной сигнал.

Метод структурных преобразований.

Порядок вычисления передаточной функции системы методом структурных преобразований следующий:

1. путем переноса узлов и сумматоров (элементов сравнения) избавиться от перекрестных связей;

2. используя правила эквивалентных преобразований, преобразовать систему в одноконтурную;

3. вычислить передаточную функцию полученной одноконтурной системы.

Многоконтурная система не имеет перекрестных связей, если любые два контура, образованные параллельным или обратным соединением не имеют общих участков или если какие-либо два контура имеют общий участок, но один из них вложен внутрь другого. В противном случае считается, что в системе имеются перекрестные связи (рисунок 4в).

Способы избавления структурной схемы системы от перекрестных связей:

1. Перенос сумматора через звено;

2. Перенос узла через звено;

3. Перестановка сумматоров;

4. Перестановка узлов;

5. Перенос узла через сумматор и наоборот.

Метод Мейсона.

Порядок вычисления передаточной функции системы методом Мейсона следующий:

1. построить граф системы управления по заданной структурной схеме;

2. записать коэффициенты передачи всех контуров, определить пары, тройки и т.д. несоприкасающихся контуров;

3. по формуле записать определитель графа системы;

- определитель графа:

,

где - сумма коэффициентов передачи всех контуров;

и- сумма произведений двух, трех и т.д. коэффициентов передачи контуров, не соприкасающихся друг с другом.

4. записать все прямые пути графа, определители подграфов;

5. вычислить передаточную функцию системы по формуле:

, (5)

где - коэффициент передачи прямого пути;

p – число прямых путей;

- определитель подграфа, получающийся из исходного графа при удалении дуг и вершин k-го простого пути;

Пример.

Задание №2:

3 Временные характеристики: способ получения, связь, показатели качества.

Говоря о математическом представлении системы помимо ранее рассмотренных способов используют также временные и частотные характеристики.

Временная характеристикапредставляет собой функцию времени,  описывающую выходной сигнал звена (или системы) при подаче на вход звена определенного тестирующего сигнала.

Частотные характеристикиописывают установившиеся вынужденные колебания на выходе звена, вызванные гармоническим воздействием на входе.

Для оценки динамических свойств системы и отдельных звеньев принято исследовать их реакцию на типовые входные воздействия, которые наиболее полно отражают особенности реальных возмущений. Во-первых, это позволяет сравнивать отдельные элементы между собой с точки зрения их динамических свойств. Во-вторых, зная реакцию системы на типовые воздействия, можно судить о том, как она будет вести себя при сложных изменениях входной величины.

Наиболее распространенными типовыми воздействиями являются: ступенчатое, импульсное и гармоническое воздействия.

Указанные  характеристики могут быть сняты экспериментально или построены по уравнению звена.

К числу основных временных характеристик звена или системы относятся переходная функция и функция веса.

Переходная функциязвена представляет собой сигнал на выходе звена (реакцию звена), вызванный подачей на его вход  единичного ступенчатого воздействия. Единичное ступенчатое воздействие (единичная ступенчатая функция, функция Хевисайда) – это воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до единицы и далее остается неизменным. Единичное ступенчатое воздействие обозначаетсяи может быть описано следующим выражением:

Рисунок – Функция Хевисайда

Переходная функция  обычно обозначается  . Следовательно,– это выражение  дляпри=.

Наряду с переходной функцией при описании звеньев и систем применяется функция веса, общепринятое обозначение которой. Эта временная характеристика представляет собой реакцию звена на дельта-функцию (единичную импульсную функцию, иглу Дирака). Дельта-функция, которая обозначается, – это математическая идеализация предельно короткого импульсного сигнала бесконечно большой амплитуды. Математически дельта-функцию можно описать следующим образом:

Рисунок – Функция Дирака

При этом согласно определению дельта-функции

.

Таким образом, - этопри=.

Поскольку дельта-функция равна производной по времени от единичного ступенчатого воздействия, то и между переходной функцией,  и функцией веса линейных звеньев существует аналогичная связь:

 . И наоборот

.

Временные  характеристики могут быть выражены непосредственно через передаточную функцию звена с помощью преобразований Лапласа.

Рисунок– Динамическое звено системы управления

Для звена, приведенного на рисунке, справедливо следующее соотношение:

.

Из определения переходной функции следует, что при подаче на вход звена сигнала , на выходе его будет сигнал. Так как при этоми, то из уравнения получим:

.

Таким образом, по заданной передаточной функции звена с помощью обратного преобразования Лапласа можно найти выражение для переходной функции:

.

Аналогичный вывод справедлив и для импульсной переходной функции с той лишь разницей, что ,, тогда

.

Приведем основные сведения о преобразовании Лапласа, которые будут использованы при рассмотрении систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями.

Преобразованием Лапласа называют  интегральное преобразование:

,                                                        (2.6)

определяющее соответствие между функцией вещественного переменного и функцией комплексного переменного . При этом называюторигиналом,

а –изображением или изображением по Лапласу.  Символическая  запись такого преобразования:

=,

где – оператор преобразования Лапласа.

Соотношение

,                                                (2.7)

определяющее  по известному изображению его оригинал (в точках непрерывности последнего), называют обратным преобразованием Лапласа. В нем интеграл берется вдоль прямойRep = . Символически обратное преобразование Лапласа можно записать так:

=,

где – символ обратного преобразования Лапласа.