1 Способы представления систем управления

Для исследования любой системы управления используется ее модель.

Модель — это объект или явление, в достаточной степени повторяющие свойства моделируемого объекта или явления (прототипа), существенные для целей конкретного моделирования, и опускающие несущественные свойства, в которых они могут отличаться от прототипа.

Виды моделей:

1. на естественном языке

2. на специальном языке

   1. научные

      1. математические формулы

      2. алгоритмы

3. технические

   1. техкарты

   2. программы

4. Смешанные

   1. таблицы

   2. графы

      1. деревья

      2. сети

      3. блок - схемы

   3. схемы

   4. карты

5. Наглядные (выраженные на языке представления)

   1. рисунки

   2. чертежи

   3. графики

   4. фотографии

В теории управления для исследования систем используются математические и смешанные (графические) способы описания систем.

1.1 Математические способы описания систем: дифференциальные уравнения, передаточные функции, пространство состояния. Переход от одной формы к другой.

В теории управления широко применяется несколько математических способов описания системы управления, а точнее ее математической модели. Одномерные одноканальные системы (или объекты) обычно описывают дифференциальным уравнением, связывающим входной и выходной сигнал системы:

, (1.1)

здесь и- входной и выходной сигналы системы,

- производная сигналаn-го порядка;

- производная сигналаm-го порядка;

- коэффициенты при выходном сигнале и его производных;

- коэффициенты при входном сигнале и его производных.

При составлении дифференциального уравнения системы следует учитывать следующие замечания: выходной сигнал и его производные записываются в левой части уравнения, а входной сигнал и его производные – в правой; условие является условием физической реализуемости системы.

В случае многоканальной системы используют систему дифференциальных уравнений, записанную в виде нормальной формы Коши, т.е.

(1.2)

здесь - выходные сигналы системы,

- входные сигналы системы.

Такую систему дифференциальных уравнений относительно первых производных часто записывают в матричной форме:

(1.3)

здесь - вектор переменных состояния;

- вектор входных переменных;

- вектор выходных переменных;

A- матрица коэффициентов системы;

B- матрица входных коэффициентов (матрица управления);

C- матрица выходных коэффициентов;

D- матрица коэффициентов пропорциональных каналов (матрица компенсации).

При этом размерность матриц будет определяться размерностью исходного дифференциального уравнения. Способ описания системы управления с помощью дифференциальных уравнений в матричной форме называется методом пространства состояний.

Если при составлении дифференциального уравнения процедуру вместо знака дифференцирования (например ) использовать оператор дифференцирования, то полученное уравнение будет называться дифференциальным уравнением в операторном виде. Так, для уравнения (1.1) запишем:

, (1.4)

здесь - оператор дифференцирования, т.е..

В общем виде дифференциальное уравнение в операторном виде можно записать:

, (1.5)

тогда уравнение относительно выходного сигнала будет иметь вид:

. (1.6)

Следующим способом описания системы управления является передаточная функция. Передаточная функция, связывающая входной и выходной сигналы времени, называется операторной передаточной функцией, и, соответственно (1.6), записывается как:

(1.7)

Если от дифференциальных уравнений перейти к уравнениям в изображениях Лапласа, т.е оператор дифференцирования заменить на оператор Лапласа, тогда вместо операторной передаточной функции следует говорить о передаточной функции в изображениях Лапласа:

, (1.8)

здесь иизображения Лапласа сигналови,s – переменная преобразования Лапласа.

Таким образом, в теории управления для описания математической модели системы используются следующие формы:

1. дифференциальное уравнение,

2. дифференциальное уравнение в операторном виде,

3. операторная передаточная функция,

4. передаточная функция в изображениях Лапласа,

5. пространство состояний.