Практическое занятие №1. «Компьютерная арифметика»

Цель занятия: знакомство с правилами выполнения арифметических действий над двоичными числами.

Краткие теоретические сведения.

Система счисления представляет собой способ построения и записи чисел посредством символов (цифр). Различают позиционные, непозиционные и смешанные системы счисления.

В ЭВМ используются позиционные системы счисления (RADIX N.S.). Система счисления называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, которое определяется её местом в числе. Например, десятичная система: число 888 имеет одни и те же цифры (8), но значение их разное. Крайняя правая цифра означает 8 единиц, средняя – 8 десятков, т.е. 80 единиц, и третья справа – 8 сотен, т.е. 800 единиц.

В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе. Например, когда количество цифр обозначается I (палочкой/единицей):

1= I

2= I I

5= I I I I I

Римская система счисления является смешанной, так как значение каждой цифры частично зависит от ее места (позиции) в числе.

Так в числах:

VII

VI

IV

V обозначает 5, а I обозначает 1. Но, с другой стороны, важно, как цифры расположены относительно друг друга.

В ЭВМ для записи чисел используется двоичная система счисления. В этой системе всего две цифры: 0 и 1, основание системы равно 2. Двоичная система используется в компьютерах потому, что электрическими сигналами очень просто обозначить двоичные цифры: 0 – нет сигнала и 1 – есть сигнал (напряжение или ток).

Шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления (СС) используются при составлении программ на языке машинных кодов для более короткой и удобной записи двоичных кодов - команд, данных, адресов и операндов. Перевод из двоичной в шестнадцатеричную и восьмеричную системы счисления осуществляется достаточно просто.

Таблица 1

Системы счисления

Десятичная	Двоичная	Восьмиричная	Шестнадцатиричная
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10
17	10001	21	11

Правило перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной СС в двоичную

Для перевода восьмеричного числа в двоичную СС достаточно заменить каждую цифру восьмеричного числа соответствующими трехразрядным двоичным числом. Затем необходимо удалить крайние нули слева, а при наличии точки - и крайние нули справа.

Пример 1: 305.4 Q → в двоичную

( 3 0 5 . 4)₈ = (11000101.1)₂

011 000 101. 100

Для перевода от шестнадцатеричной системы счисления к двоичной – каждая цифра шестнадцатеричного числа заменяется соответствующим четырехразрядным двоичным числом. У двоичного числа удаляются крайние слева нули, а если имеется дробная часть, то и крайние правые нули.

Пример 2: 7D2.E₁₆ → в двоичную СС

(7D 2. E )₁₆ = (11111010010.111)₂

0111 1101 0010. 1110

Правило перевода из двоичной СС в восьмеричную или шестнадцатеричную СС

Двигаясь от десятичной точки сначала влево, а затем вправо, разбивают двоичное число на группы по 3(4) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем каждую группу из 3-х (4-х) разрядов заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Пример 3: 111001100.001 В → Q (восьмеричной)

(111001100.001)₂ = (714.1)₈

7 1 4 . 1

Правило перевода целых десятичных чисел в другие СС

Для перевода целое десятичное число последовательно делят на основание той системы (w), в которую его переводят. Деление продолжают до тех пор, пока остаток от деления не будет меньше основания (w). Затем полученные остатки записывают снизу вверх или справа налево.

Пример 4: Перевести десятичное число 26 в двоичную систему счисления.

26:2=13+остаток 0 11010

13:2=6+остаток 1

6:2=3+остаток 0

3:2=1+остаток 1

1:2=0+остаток 1

Правило перевода дробных чисел

При переводе дробных чисел умножают десятичную дробь на основание системы, в которую переводят. Умножают только дробную часть числа, а целую часть полученного произведения записывают в дробную часть нового числа. Умножение продолжают до появления нулей в целой части или до определенной точности. Результаты записывают сверху вниз, считая и ноль целых.

Пример5: Перевести 0,875₍₁₀₎ в двоичную СС

0,875

* 2

1,750

* 2

1,500

* 2

1,000

0,111

0,875₍₁₀₎₌0,111₍₂₎

Для перевода смешанных чисел пользуются указанными правилами: отдельно целые и дробные числа, а затем приписывают к целому числу дробную часть.

Запись числа в позиционной системе счисления производится в сокращенной форме.

Например, число 1938,29 можно представить в развернутом виде так:

1000+900+30+8+0,2+0,09, где 1000=1*10³,900=9*10², 30=3*10¹, 8=8*10⁰, 0,2=2*10^-1, 0,09=9*10^-2, т.е. 1*10³+9*10²+3*10¹+8*10⁰+2*10^-1+9*10^-2.

Каждое слагаемое есть произведение двух сомножителей коэффициента Х, который принимает значение цифр системы и основания с показателем степени, определяющим положение цифры в ряду.

В общем случае произвольное число в позиционной СС, может быть представлено в виде полинома от основания S:

Х(S) = XnSⁿ + Xn-1S^n-1+ … + X1S¹ + XoS⁰ + X-1S^-1+… + X-mS^-m

целая часть дробная часть

Где Х(s)- число в S-й системе счисления,

S-основание СС,

n и m - номера старших и младших разрядов.

Краткая запись числа представляется последовательностью цифр:

Х(s) = X_n X_n-1…X₁X_o, X_-1 X_-2…X_-m

По этой формуле можно переводить число из любой системы счисления в десятичную.

Пример 6: перевести двоичное число 11010,111 в десятичную систему счисления.

11010,111₍₂₎=Х₍₁₀₎.

В примере S=2. Начиная от запятой, влево и вправо поставим значение степеней числа:

43210 -1 –2 -3

11010, 1 1 1

Согласно формуле Х переводим это число в десятичное:

1*2⁴+1*2³+0*2²+1*2¹+0*2⁰+1*2^-1+1*2^-2+1*2^-3= 16+8+0+2+0+0,5+0,25+0,125=26,875.

Окончательно получим 11010,111₍₂₎ = 26,875₍₁₀₎.

Полученный результат сходится с результатом перевода чисел 26 и 0,875 в двоичную систему счисления.

Арифметические действия в различных системах счисления выполняются по правилам десятичной системы счисления. Каждая система имеет свои таблицы сложения и умножения (вычитание и деление – обратные действия).

Приведем таблицу двоичного сложения, вычитания, умножения:

Сложение	Вычитание	Умножение
0+0 = 0	0 - 0 = 0	0*0 = 0
0+1 = 1	1 - 0 = 1	1*0 = 0
1+0 = 1	1 - 1 = 0	0*1 = 0
1+1 = 0 + единица переноса в старший разряд	10 - 1 = 1 с учетом заема единицы в старший разряд	1*1 = 1

Пример 7: выполнение операций арифметического сложения в двоичной системе СС.

17 10001

3 00011

20 ₁₀ 10100 ₂

Следует заметить, что в реальных ЭВМ чаще всего используются 16-, 32-, 64- разрядные сетки (машинные слова). Однако для учебных целей при рассмотрении методов выполнения арифметических операций не будем обращать внимание на разрядность операндов (т.е. будем использовать разрядность, отличающуюся от разрядности реальных ЭВМ).

Пример 8: выполнение операции арифметического сложения двух вещественных чисел в двоичной СС.

55.25 0110111.01

19.5 0010011.10

74.75 1001010.11

10 2

При сложении вещественных чисел перенос осуществляется из дробной части числа в целую часть.

Правило умножения многоразрядных двоичных чисел: (рассмотрим на примере)

Пример 9:

1011 Множимое (11)

*

1101 Множитель (13)

1011

0000 частичные произведения

1011

1011

10001111 Произведение (143)