Методы отделения корней
Графический способ отделения корней
Аналитический способ отделения корней
Методы уточнения корней
Метод половинного деления
Метод хорд
Метод касательных (Ньютона)
Комбинированный метод хорд и касательных
Методы решения систем уравнений
Метод Гаусса
Матричный метод
Метод Крамера
Метод итераций
Численное интегрирование
Формула трапеций
Формула Симпсона (парабол)
Формулы прямоугольников
Метод Монте-Карло
Метод наилучших приближений
Метод наименьших квадратов
Интерполирование функций
Интерполяционный многочлен Лагранжа
1. Графический способ отделения корней
Отделение корней во многих случая можно произвести графически, "учитывая что действительные корни уравнения F(x)=0(1)- это есть точки пересечения графика функцииy=F(x)с осью абсциссy=0, нужно построить график функцииy=F(x)на оси OX отметить отрезки, содержащие по одному корню. Но часто для упрощения построения графика функцииy=F(x)исходное уравнение(1)заменяют равносильным ему уравнениемf1(x)=f2(x)(2). Далее строятся графики функцийy1=f1(x)иy2=f2(x), а затем по оси OX отмечаются отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения двух графиков"[1].
На практике данный способ реализуется следующим образом:например, требуется отделить корни уравненияcos(2x)+x-5=0графически на отрезке [-10;10], используя:
Mathcad;
Excel.
1 Способ
Построим график функции f(x)=cos(2x)+x-5в декартовой системе координат.Для этого нужно:
Ввести в ячейку A1 текст х.
Ввести в ячейку B1 текст y=cos(2x)+x-5.
Ввести в ячейку А2 число -10, а в ячейку А3 число -9.
Выделить ячейки А2 и А3.
Навести указатель «мыши» на маркер заполнения в правом нижнем углу рамки, охватывающий выделенный диапазон. Нажать левую кнопку «мыши» и перетащить маркер так, чтобы рамка охватила диапазон ячеек А2:А22.
Ячейки автоматически заполняются цифрами :
Ввести в ячейку В2 формулу =COS(2*A2)+A2-5.
Методом протягивания заполнить диапазон ячеек В3:В22.
Вызвать "Мастер диаграмм" и выбрать диаграмму график (первый вид), нажать «далее».
Указать диапазон данных, для этого щелкнуть кнопку в поле «Диапазон» и выбрать диапазон данных В2:В22.
Выбрать вкладку ряд, указать имя ряда, щелкнув кнопку в поле «ряд» и выбрав В1.
В поле «подписи по оси Х», щелкнуть кнопку и выбрать диапазон А2:А22, нажать «далее».
Подписать названия осей x и y соответственно, нажать «далее».
Вывести диаграмму на том же листе, что и таблица, нажать кнопку «готово».
В итоге получаем следующее:
Анализируя полученное изображение графика, можно сказать, что уравнение cos(2x)+x-5=0имеет один корень – это видно из пересечения графика функцииy=cos(2x)+x-5с осью OX. Можно выбрать отрезок, содержащий данный корень:[5;6] – отрезок изоляции.
2 Способ
Для подтверждения полученных данных, можно решить эту же задачу вторым способом, используя формулу (2). Для этого необходимо уравнение cos(2x)+x-5=0 преобразовать к виду: cos(2x)=5-x. Затем следует каждую часть уравнения рассмотреть как отдельную функцию. Т. е. y1=cos(2x) и y2=5-x. Для решения этой задачи в MS Excel необходимо выполнить следующие действия:
Вести в ячейки А1:C1 соответственно текст: «x», «y1=cos(2x)», «y2=5-x».
A2:A22 заполнить так же как при решении задачи первым способом.
В В2 ввести формулу =COS(2*A2).
Методом протягивания заполнить диапазон ячеек В3:В22.
В С2 ввести =5-A2.
Методом протягивания заполнить диапазон ячеек С3:С22.
С помощью Мастера диаграмм выбрать график (первый вид).
В данном случае диапазон данных следует указывать для построения двух графиков. Для этого нужно нажать кнопку в поле «Диапазон» и выделить ячейки В2:В22, затем нажать Ctrl (на клавиатуре) и выделить следующий диапазон C2:C22.
Перейти на вкладку ряд, где выбрать именем ряда 1 ячейку В1, а именем ряда 2 ячейку С2.
Подписать ось x , выбрав диапазон А2:А22.
Подписать соответственно оси x и y.
Поместить диаграмму на имеющемся листе.
В итоге получаем следующее:
Анализируя полученный результат, можно сказать, что точка пересечения двух графиков попадает на тот же самый отрезок изоляции [5;6], что и при решении задачи первым способом.