12. Інтеграла Рімана для функції однієї змінної. Основні властивості.

Нех. на задана обмежена функція виконаємо T – розбиття точками. Позначимо через . Позначемо через. Вибиремо т.,. Побудуємо суму.

Озн. Число І називається границею інтегральної суми: , якщо  .

Озн. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми, за умови, що , то ця границя називається інтегралом Рімана, або визначеним інтегралом, а функція називається інтегрованою за Ріманом.

Властивості

Т: (необхідна вл. інтегровності) « Якщо функція - інтегрована на, то на цьому відрізку вона обмежена ».Дов. Доведення проведемо від супротивного. Припустимо, що функція –необмежена. Виконаємо Т – розбиття, та побудуємо інтегральну суму . Якщо функція необмежена на , то вона необмежена хоча б в одній із частин, завдяки вибору точки ми можемо вираз ми можемо зробити як завгодно великим  сума може бути як завгодно великою не існує скінченної границі  функція не є інтегрованою  це суперечить умові  припущення не вірне  отже, якщо функція інтегрована – то вона обмежена. Довед.

; 2) ; 3);4) (адитивна: якщо f – інтегрована на ) .

Властивості 1-3 можна доводити за означенням, а вл.4 можна дати геометричне тлумачення (через площу фігури).

Доведемо вл3. Нехай на ми маємо обмежену функцію, де– обмежені наВиконаємо Т-розбиттяточками. Позначимо через. Позначемо через. Вибиремо т.,. Побудуємо суму.

Знайдемо границю // за означенням визначеного інтеграла// . Довед.

13 Критерій інтегровності. Основні класи інтегровних за Ріманом функцій.

Нех. на на задана обмежена функція виконаємо T – розбиття точками. Позначимо через . Позначемо через. Вибиремо т.,. Побудуємо суму. Оскільки- обмежена на, то вона обмедена на кожному відрізку, за теоремою про існування граней існує нижня і верхня грань множини значень функції на цьому відрізку:,. Побудуємо суми:,- нижні та верхні суми Дарбу.

Критерій інтегрованості: «Для того, щоб обмежена функція- була інтегровною за Ріманом на нанеобхідно і достатньо:».

Т1: « Якщо f – монотонна на на , то на цьому відрізку вона інтегрована за Ріманом ».

Т2: « Якщо функція f неперервна на на - то на цьому відрізку вона інтегровна ».

Т3: « Якщо обмежена функція f – обмежена на , має скінченну множину точок розриву першого роду, то на цьому відрізку вона інтегрована за Ріманом ».

Зупинимося на доведенні другої теореми, але перед цим дамо декілька означень.

Озн. Функція f – називається рівномірно неперервною, на Х, якщо .

Озн. Різниця M_k – m_k називається коливанням функції f(x) на відрізку [x_k, x_k+1] і позначається _k.

Із означення коливання функції вираз - вигляд критерія інтегрованості через коливання функції.

Доведення Т2. Візьмемо довільне  > 0. Оскільки функція f неперервна на , то вона(за теоремою Кантора) рівномірно неперервна. За властивістю рівномірної неперервності знайдеться таке розбиття Т відрізка [a, b], що для всіх відрізків розбиття виконуватиметься нерівність . Тоді

Ми отримали вираз - вигляд критерія інтегровності функції через коливання функції функція f - інтегнорна на . Довед.