Достатні умови існування екстремуму функції. Теорема. Нехай  критична точка функції ,неперервна в точціі має похіднув усіх точках околуза виключенням, можливо самої точки. Тоді

1. якщо і, то точкає точкою максимуму функції.

2. якщо і, то точкає точкою мінімуму функції.

3. Якщо в околімає один і той же знак, тоне є точкою екстремуму функції.

Доведення. 1). Нехай і. Звідси за ознаками монотонності функції маємо: якщоі. Отже, для будь-якогоіз околувиконується нерівність, тобто точкає точкою максимуму функції.

Доведення пунктів 2), 3) аналогічні.

Друга дост. умова екстремуму: Якщо ф-ція в -околі стаціонарної точки диференційовна і в цій точці має другу похідну, відмінну від нуля, то - точка екстремуму, причому це точка мінімуму, якщо, і точка максимуму, якщо. Довед. Нех.. За означенням похідної другого порядку маємо:. За означенням границі для числа знайдеться число таке, що для всіх :   , і , . Тому за першою достатньою умови максимуму маємо, що – точка мін. Доведемо справедливість теореми, якщо - точка максимуму. Із умови теореми:. За означенням похідної другого порядку маємо:. За означенням границі для числа знайдеться число таке, що для всіх :   , і , . За перш теор маємо, що - точка максимуму. Довед.

10. Застосування диференціального числення до дослідження властивостей функцій. Опуклість і точки перегину.

Нехай функція визначена на інтерваліі в кожній точці цього інтервалу має скінчену похідну.Тоді в кожній точці графіка цієї функції можна провести дотичну, не паралельну осі. Крива, яка є графіком цієї функції, називається гладкою. Якщо крива, яка є графіком функції , розміщена не нижче будь-якої дотичної на інтервалі, то вона називається вгнутою догори або просто вгнутою на цьому інтервалі або опуклою вниз . Якщо крива, яка є графіком функції, розміщена не вище будь-якої дотичної на інтервалі, то вона називається вгнутою донизу або просто опуклою на цьому інтервалі або опуклою вгору.

Точка називається точкою перегину гладкої кривої, якщо існує-окіл точкитакий, що в інтервалахікривамає опуклість різних напрямків.У цьому випадку графік функції в інтервалахілежить по різні боки від дотичної, проведеної в точці.

Теорема. Нехай функція визначена на інтерваліі в кожній точці цього інтервалу має похідні до другого порядку включно. Тоді, якщоу всіх точках, то графік функціїна інтервалівгнутий (опуклий вниз), якщо жу всіх точках, то графік функціїна інтерваліопуклий (опуклий вгору).Доведення. в інтервалах ілежить по різні боки від дотичної, проведеної в точці. Нехай . Виберемо точкуі покажемо, що графік функціїлежить не нижче дотичної, яка проходить через точку. Щоб відрізняти ординату графіка функції і ординату дотичної, останню будемо позначати буквою. Запишемо рівняння дотичної в точці: (1). Оскільки функція має похідні до другого порядку включно, то згідно формули Тейлора (при) маємо: (2) де . Віднімемо від рівності (2) рівність (1) . Оскільки , то, тобто. Отже, графік функціїу будь-якій, відмінній від, точцілежить вище дотичної, проведеної до нього в точці з абсцисою. Аналогічно доводиться теорема для випадку .

Установимо необхідну умову існування точки перегину графіка функції . Нехай функціявизначена і має неперервні похідні до другого порядку включно на інтервалі. Тоді. Якщо в кожній точці, то графік функціїна інтервалівгнутий (опуклий вниз). Якщо,, то графік опуклий (опуклий вгору). Якщо на інтервалі , то графік функціїточок перегину на цьому інтервалі не має. Таким чином, точка, деможе бути точкою перегину графіка функціїлише в тому випадку, коли. Отже, умова є необхідною, для того, щоб точкабула точкою перегину графіка функції. Розглянемо такий приклад: Нехай . Тодіпри. Але точкане є точкою перегину графіка функції. Установимо достатню умову існування точки перегину графіка функції. Нехай точкатака, щой існує таке, що в інтервалахідруга похіднамає різні знаки. Тоді точкає точкою перегину. Дійсно, за вказаних умов у інтервалахікривамає опуклість різних напрямків. Отже, точкає точкою перегину цієї кривої. Зауваження. Точка є точкою перегину графіка функціїі в тому випадку, коли в точцііснує дотична до графіка функції, друга похідна в самій точціне існує, але існує в деякому-околі точки, причому в інтервалахімає різні знаки. Приклад. Нехай . Ця функція в точцімає нескінченну похідну першого порядку й дотична до її графіка в точціспівпадає з віссю. Друга похідна в точціне існує. Графік функціїв точцімає перегин, оскільки справа і зліва від точкидруга похіднамає різні знаки.

Схема побудови графіка.