11. Первісна та її властивості. Невизначений інтеграл. Основні способи інтегрування. Таблиця невизначених інтегралів від основних елементарних функцій.

Функція називається первісною для функції, на деякому проміжкуХ, якщо для усіх значень х  Х виконується рівність =. Якщо  первісна для функції , то й функція, деС  довільна стала, також є первісною для функції , оскільки()′ = + С ′= + 0 =.

Нехай первісною функції на проміжкуХ, крім функції , є функція, тобто=. Розглянемо різницю. Обчислимо похідну цієї різниці. ()′ == = 0. Отже, згідно з теоремою Лагранжа  = С. Звідси маємо: =+С.  множина первісних функції на проміжкуХ, вичерпується функціями виду+С, де  одна із первісних функції .

Означення. Сукупність усіх первісних функції на проміжкуХ називається невизначеним інтегралом функції на цьому проміжку і позначається. Невизначений інтеграл інакше називають інтегралом Ньютона  Лейбніца. Якщо  одна з первісних функції , то за означенням = +С. Знак називається знаком невизначеного інтеграла, підінтегральною функцією, а  підінтегральним виразом. Операцію знаходження невизначеного інтеграла від функції називають інтегруванням цієї функції.

Основні властивості невизначеного інтеграла: 1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції.()′ = + С ′= . 2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу d() = d= d(x). 3. Н.І. від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної постійної =. 4. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла, тобто, якщо k = const  0, то (Для доведення цієї властивості досить показати, що права чстина рівності є первісною підінтегральної функції ). 5. Невизначений інтеграл від суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) невизначених інтегралів від кожної функції, тобто. Доведення..

Таблиця основних інтегралів Безпосередньо із означення визначеного інтеграла випливають наступні формули, котрі утворюють таблицю основних інтегралів: 1., 2. , 3. , 4. 5. , 6., 7., 8., 9., 10., 11., 12., 13., 14..

СПОСОБИ ІНТЕГРУВАННЯ: Безпосереднє інтегрування Обчислення інтегралів за допомогою безпосереднього використання таблиці основних інтегралів та їх властивостей називається безпосереднім інтегруванням. Метод підстановки В основі методу підстановки (методу заміни змінної) лежить формула диференціювання складеної функції. Якщо F ′( x) = f(x), х(a, b), то для довільної диференційованої на проміжку (,  ) функції x= (t), де (t) (a, b), якщо t (,  ) маємо: (F((t)))′ = F ′( x) ′(t) = f(x) ′(t) = f((t)) ′(t). Таким чином, , тобто. Інтегрування частинами Нехай функції івизначені й диференційовані на деякому проміжкуХ. Тоді . Звідси маємо . Припустимо, що інтеграліснує. Тоді. Оскільки, то(1). Довільну сталуС включає в себе інтеграл . Формула (1) називається формулою інтегрування частинами.За цією формулою обчислюються , зокрема інтеграли виду 1) ,,, де  многочлен n-ного степеня відносно х, . Тут слід прийняти.