8. Основні теореми диференціального числення. Теореми Ролля, Лагранжа й Коші. Формула Тейлора.

Теорема Ролля: Якщо функція y=f(x) задовольняє умови: 1) неперервна на [a;b] , 2) диференційована в інтервалі (a;b), на кінцях відрізка має однакові значення f(a)=f(b), то в інтервалі (a;b) існує точка в якій похідна ф-ції = 0. Довед. За Теоремою Веєрштрасса на [a;b] існує найменше (m) і найбільше (M) значення функції f. Це означає, що існують точки x* i x** є [a;b] такі, що m=f(x*)≤ f(x), M=f(x**)≥ f(x), xє[a;b]. Якщо m=M, то f(x)=m – постійна функція, а тому її похідна =0 у всіх точках інтервалу [a;b] . Якщо m≠M , то хочаб одна із них лежить в інтервалі (a;b) . Візьмемо точку x* є (a;b), надамо приросту ∆x, так, щоб (x*+∆x) є [a;b] і утворимо приріст функції (за 2-ою умовою теореми) існує скінченна границія, яка, як відомо, дорівнює однобічним границям:. Знак приросту функції залишається сталим, томуі- різних знаків, один більший або рівний нулю, а інший менший або рівний нулю, тому ми маємо: . Доведено.

Теорема Лагранджа: Якщо функція y=f(x) неперервна на [a;b], і диференційована в інтервалі (a;b), то в цьому інтервалі існую точка c така, що виконується рівність (Фомула Лагранжа).

Дов. Утвор допоміжне функцію . За властивістю неперервності і диференційованості вона неперервна на на [a;b], і диференційована в інтервалі (a;b): . Оскільки на кінцях відрізка вона набуває однакових значень, тому за теоремою Ролля існує така точкас є (a;b) , така, що   . Дов.

Теорема Коші. Якщо функції f(x) i g(x) – неперервні на [a;b], і диференційована в інтервалі (a;b), і для, то в цьому інтервалі існує точка, така, що:.

Дов. Утвор. доп функцію: . Функція - визначенна на [a;b], бо задовольняє умови теореми Лагранджа, а тому із формули Лагранджа . Вона неперервна на відрізку на [a;b], і диференційована в інтервалі (a;b): і на кінцях приймає однакові значення за теоремою Ролля  c :   . Дов.

Формула Тейлора: Нехай функціяв точціі в деякому її околі має похідні- го порядку. Нехай такождеяка точка, що належить околу, про який йде мова. Тоді існує точка, яка лежить між точкамиі, така, що.

9. Застосування диференціального числення до дослідження властивостей функції. Умови сталості і монотонності функції на проміжку. Екстремуми функції.

Теорема. Для того, щоб диференційовна ф-ція в інтервалібула постійною необхідно і досить, щоб її похідна в цьому інтервалі дорівнювала 0. Дов.Необхідність. Похідна від стальної = 0. Достатність. Нехай дляі- довільна фіксована точка з цього інтервалу. На відрізку, дефункція задовольняє умови теореми Лагранджа. Тому знайдеться,  для . Подібними міркуваннями встановлюється, що для  . Довед.

Моннотонність. Теор. Якщо функція диференційована на інтервалііна, то функціязростає (спадає). Доведення. Нехай для визначеності . Візьмемо в інтервалідві довільні точкитакі, що. На відрізкуфункціязадовольняє умовам теореми Лагранжа. Отже, існує точкатака, що .Звідси випливає, що за умов імаємо:, тобто. Для випадку доведення аналогічне.

Екстремуми функції. Точка називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції, якщо існує- окілточкитакий, щодля будь-якої відмінної відточки. При цьому саме значенняназивається локальним максимумом (мінімумом) функції. Точки максимуму і мінімуму функціїназиваються точками екстремуму або екстремальними точками функції.

Необхідна умова існування локального екстремуму функції. Якщо в точці функціямає екстремум, то існує окілточки, в якому значенняє найбільшим або найменшим. Отже, якщо в точціфункціядиференційована, то згідно теореми Ферма

Зазначимо, що коли функція диференційована в точціі, то або, тобто функція зростає, абоі функція спадає.Звідси випливає, що функція може мати екстремум лише в тих точках, у яких її похіднарівна нулю, або не існує.

Точки, в яких похідна функції рівна нулю, називаються стаціонарними. Стаціонарні точки й точки, в яких функціявизначена, але її похіднане існує називаються критичними.

Отже, для того, щоб функція мала в точціекстремуму, необхідно, щоб ця точка була критичною.