4. Неперервність функції у точці. Приклади неперервних функцій. Властивості неперервних функцій.

Нехай функція визначена в деякому околі точки. Функціяназивається неперервною в точці, якщо.

(Гейне) Функція називається неперервною в точці, якщо для будь-якої послідовностівідповідна послідовністьзначень збігається до.

(Коші) Функція називається неперервною в точці, якщо для довільного числаіснує числотаке, що для всіх, які задовольняють умову, виконується нерівність.Наведені означення рівносильні.

Функція називається неперервною в точцісправа (зліва), якщо. Покажемо, що неперервна функція характеризується тим, що нескінченно малому приростові аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції. Дійсно, умовуможна записати як. Тоді. наступне означення неперервності функції в точці: Функція називається неперервною в точці, якщо нескінченно малому приростові аргументу в цій точці відповідає нескінченно малий приріст функції (локальна або місцева властивість). Якщо функція неперервна в кожній точці інтервалу , то говорять, що вона неперервна на інтервалі. Якщо при цьому в точціфункція неперервна справа, а в точці– неперервна зліва, то говорять, що функція неперервна на відрізку . Термін неперервної кривої походить із поняття неперервної функції. Графіком неперервної на функції є неперервна крива ("суцільна крива").

Приклади: показникова, функція, що задана многочленом, sin, cos.

Властивості: Якщо функції неперервні в точці, то функціїу точцітакож неперервні (доведення цієї теореми безпосередньо випливає з означення неперервності функції в точці та властивостей границь); Якщо функціянеперервна в точці, а функціянеперервна в точці, причому, то складена функціянеперервна, як функція від, у точці.

Доведемо останню властивість, яку часто записують у вигляді теореми про неперервність складеної функції в точці. Нехай задано довільне число . Тоді за неперервністю функціїу точцізнайдеться числотаке, щодля всіх, які задовольняють умову.

Для числа за неперервністю функціїу точцізнайдеться числотаке, щодля всіх, які задовольняють умову.

Отже, для довільного числа знайдеться числотаке, що з умовивипливає нерівність, а це означає, що функціянеперервна в точці. Довед.

Важливим є те, що з означення неперервності функції у точцівипливає . Наведемо приклади деяких важливих границь, обчислення яких спирається на неперервність елементарних функцій. . Доведення..

5. Неперервність функції на множині. Властивості неперервних функцій на обмежених замкнених множинах.

Див п.4(оглядово). Якщо функція неперервна в кожній точці інтервалу , то говорять, що вона неперервна на інтервалі. Якщо при цьому в точціфункція неперервна справа, а в точці– неперервна зліва, то говорять, що функція неперервна на відрізку .

Основні властивості неперервних функцій. Перша теорема Больцано-Коші (теорема про обернення функції в нуль). Нехай функція неперервна на відрізкуі на його кінцях значення функції мають різні знаки. Тоді існує точкатака, що.

Доведення. Нехай для визначеності . Розділимо відрізокнавпіл. Якщо, то теорема доведена. Якщо, то виберемо ту половину відрізка, на кінцях якої функціямає значення різних знаків, і позначимо її. Розділимо відрізокнавпіл. Якщо, то теорема доведена, в іншому випадку виберемо ту половину відрізка, на кінцях якої функціямає значення різних знаків, та позначимо її. Якщо цей процес продовжувати необмежено, то або на якомусь-ому кроці значення функції в середині відрізкабуде рівним нулю і тоді теорема доведена, або одержимо послідовність укладених відрізків таких, що приі на кінцях кожного з відрізківфункціямає значення різних знаків,.

За теоремою про вкладені відрізки існує точка , яка належить кожному із відрізківі. Ураховуючи неперервність функції(зокрема в точці), маємо. Звідси одержуємо .

Друга теорема Больцано-Коші (теорема про проміжне значення). Нехай функція неперервна на відрізкуі на кінцях цього відрізка приймає значенняде. Тоді для будь-якого числаіснує точкатака, що.

Доведення. Нехай для визначеності . Розглянемо допоміжну функцію

. Ця функція неперервна на відрізку і , . За першою теоремою Больцано-Коші існує точка така, що. Але. Отже,, тобто.

Перша теорема Вейєрштрасса. Якщо функція неперервна на відрізку, то вона обмежена на цьому відрізку.

Доведення. Нехай функція неперервна на відрізку. Припустимо, що вона на відрізкуне обмежена. Поділимо відрізокпополам і виберемо ту його частину, де функціяне обмежена. Позначимо її. Відрізоктакож поділимо пополам і виберемо ту його частину, де функціяне обмежена. Позначимо вибрану половину. Продовжуючи необмежено цей процес, одержимо послідовність укладених відрізків таких, що при. За теоремою про вкладені відрізки існує точка, яка належить кожному із них і. За означенням границі послідовності для будь-якого числа>0 існує такий номер, що приз іншого боку, існує такий номер, що при. Нехай. Тоді привиконуються нерівності:, тобто всі відрізки, депопадають в інтервал. Таким чином, функціяне обмежена в деякому-околі точки. Але це неможливо, оскільки функціянеперервна на відрізку, а значить, неперервна і в точці, тобто в точцііснує скінченна границя функції, а тому в околі цієї точки вона обмежена.

Друга теорема Вейєрштрасса. Якщо функція неперервна на відрізку, то вона досягає на цьому відрізку своїх точних меж, тобто існують такі точки, що . Доведення. Нехай функція неперервна на відрізку. За першою теоремою Вейєрштрасса функціяна відрізкуобмежена. Отже, вона має точну верхню межуі точну нижню межу. Покажемо, що існує точкатака, що. Припустимо, що в жодній точці відрізкафункціяне приймає значення, рівного, тобто для всіх точок. Складемо допоміжну функцію. Ця функція на відрізкунеперервна, а тому обмежена. Отже, існує числотаке, що для всіх. Із цієї нерівності маємо: . Таким чином,– верхня межа функціїна відрізку. Але це суперечить тому, що число точна верхня межа цієї функції на відрізку . Звідси випливає, що зроблене припущення неправильне, тобто існує точкатака, що. Друга частина теореми доводиться аналогічно.