3. Дійсна функція дійсної змінної. Границя функції дійсної змінної у точці. Властивості границь.

Нехай задано дві непусті множини Х та У. Якщо кожному значенні змінної х є Х ставиться у відповідність за деяким законом єдине значення у є У, то кажуть що на множині Х задана функція y=f(x). Множина X називається областю визначення функції позначається D(f). Множина У називається областю значень функцій позначається Е(f). При цьому х називається незалежною змінною або аргументом, у – залежною змінною.

Означення границі функції за Гейне. Число називається границею функціїу точці( або при), якщо для будь-якої збіжної допослідовності значень аргументу, відмінних від, відповідна послідовність значень функції збігається до числа. Символічно це записують так: . Означення границі функції за Коші. Нехай функція визначена в деякому околі точки, крім, можливо, самої точки. Числоназивається границею функціїу точці, якщо для довільного числаіснує числотаке, що нерівністьвиконується для всіх, що задовольняють умову.

Означення границі функції за Гейне і за Коші еквівалентні.

Дійсно, нехай згідно з Гейне. Покажемо, що в цьому випадку для довільного числаіснує числотаке, що нерівністьвиконується для всіх, що задовольняють умову, тобто щозгідно з означенням Коші.

Припустимо протилежне. Нехай існує таке, що для довільногоіснує точка, для якої з умовивипливає нерівність. Розглянемо послідовність, де. Виберемо точкитакі, що(1) і . (2)

Оскільки , то, але за нерівністю (2), що суперечить умові, тобто щозгідно з Гейне.

Нехай тепер згідно з Коші. Покажемо, щоі згідно з Гейне. Отже, нехай для будь-якого існує числотаке, що із нерівностівипливає нерівність. Виберемо довільну послідовність точокзбіжну до. Тоді для значення, відповідного, знайдеться такий номер, що для всіхвиконуватимуться нерівностіі разом із тим. Оскільки вибірбув довільним, то це означає, що для довільної послідовностііз умовивипливає умова, тобто щоза Гейне.

Еквівалентність означень границі функції за Гейне і за Коші дає можливість використовувати будь-яке із них залежно від того, яке є більш зручним для розв'язування тієї чи іншої задачі.

Число називається границею функціїу точцісправа (зліва), якщо для будь-якої збіжної допослідовності, елементи якої більші (менші), відповідна послідовністьзбігається до числа.Символічно:. Функціямає в точціграницю тоді й тільки тоді, коли в цій точці існує як права, так і ліва границя та ці границі рівні між собою. У цьому випадку границя функції дорівнює одностороннім границям.

Границя функції на нескінченності. Число називається границею функціїпри, якщо для будь-якої нескінченно великої послідовностізначень аргументу відповідна послідовністьзначень функції збігається до числа. ().

Властивості неперервних функцій: Якщо функція має границю в точці, то ця границя єдина; Якщо функціїімають у точціграниці, то функції(при) у точцітакож мають границі, причому; (3);(4)(5) ; Якщо функціїі, визначені в деякому околі точки, крім, можливо, самої точки, мають у точціграниці, й такі, що в околі точки. Тоді; Якщо функціївизначені в деякому околі точки, крім, можливо, самої точки, функціїмають у точціграницю, рівну, тобто. Нехай, крім того, виконується нерівність. Тоді функціяу точцімає границю, рівну, тобто;