Завдання до теми

Нехай початкові відхилення струни, яка закріплена у точках та, дорівнюють нулю, а початкова швидкість виражається формулою

.

Визначити форму струни для будь-якого моменту часу .

Розв’язування. У цьому випадку , ав інтерваліізовні цього інтервалу. Звідси. Знайдемо:

.

Звідси .

Завдання для перевірки знань

• Струна має у початковий момент форму параболи . Визначити зміщення точок струни от вісі абсцис, якщо початкові швидкості відсутні. Граничні умови мають вигляд:.

Контрольні питання

• Які числа називаються власними числами задачі Штурма-Ліувілля?

• Які знаки мають власні числа задачі Штурма-Ліувілля?

• Які функції називаються власними функціями?

Література: [1, 6].

Практичне заняття № 9

Тема Метод Фур’є. Рівняння теплопровідності

Мета: поглиблення знань про постановки крайових та початкових задач для рівняння теплопровідності; виробити навички знаходити розв’язок крайових і початкових задач для рівняння теплопровідності.

Короткі теоретичні відомості

• Одномірним рівнянням теплопровідності у випадку стержня, напрямленого по восі , називається рівняння вигляду

. (1)

• Випадок необмеженого стержня.

, ,– рівняння теплопровідності, (2)

, – початкова умова, (3)

–розв’язок задачі (2)–(3).

• Випадок стержня, обмеженого з одного боку.

–рівняння теплопровідності, (4)

–початкова умова, (5)

–крайова умова, (6)

–розв’язок задачі (4)–(6).

• Випадок стержня, обмеженого з обох кінців та.

–рівняння теплопровідності, (7)

–початкова умова, (8)

–крайові умови, (9)

–крайові умови, ()

–

розв’язок задачі (7), (8), (9).

–

розв’язок задачі (7), (8), ().

Завдання до теми

Знайти розв’язок рівняння , яке задовольняє початкову умовута крайову умову.

Розв’язування. Ми маємо рівняння теплопровідності для напівобмеженого стержня. Розв’язок, який задовольняє вказані умови, має вигляд

.

Припустивши , перетворимо перший інтеґрал, користуючись інтеґралом імовірностей, тобто

.

Узявши , перетворимо другий інтеґрал

.

Таким чином, розв’язок даної задачі набуває вигляду .

Завдання для перевірки знань

• Знайти розв’язок рівняння ,,, яке задовольняє початкові умовиі крайові умови.

• Відповідь: .

• Знайти розв’язок рівняння , якщо лівий кінецьнапівобмеженого стержня теплоізольований, початкове розподілення температури

. Відповідь: .

Контрольні питання

• Запишіть нестаціонарне рівняння теплопровідності у загальному випадку

Література: [1, 6].

Практичне заняття № 10

Тема Метод Фур’є для неоднорідних рівнянь

Мета: систематизувати знання про постановки початково-крайових задач для рівняння теплопровідності; виробити навички знаходити розв’язок крайових задач для нестаціонарного рівняння теплопровідності.

Короткі теоретичні відомості

Неоднорідні рівняння гіперболічного типу. Неоднорідні рівняння параболічного типу.

, (1) , (1')

, (2) , (2')

. (3) . (3')

Розв’язок задачі (1)-(3) або (1')-(3') шукається у вигляді

, (4)

де– розв’язок задачі:

, (5) , (5')

(6) , (6')

. (7) . (7')

–розв’язок задачі:

, (8) , (8')

, (9) , (9')

. (10) . (10')

Завдання до теми

Знайти розв’язок задачі про вимушені коливання струни під дією зовнішніх сил

(), (11)

, (12)

. (13)

Розв’язування. Представимо розв’язок задачі (11)–(12) у вигляді

. (14)

Функція задовольняє рівняння (11) та крайові умови (13). Тоді отримаємо задачу для:

, (15)

. (16)

Загальним розв’язком рівняння (15) є функція . Довільні сталіізнайдемо з умов (16):

;

.

Таким чином, розв’язок задачі (15)–(16) має вигляд

. (17)

Підставимо функцію (17) у вираз (14) і отримуємо задачу для :

, (18)

(19)

. (20)

Задачу (18)-(19) розв’яжемо методом Фур’є. У нашому випадку , а. Звідси. Знайдемо:.

====

==.

Таким чином, розв’язок задачі (18)–(20) має вигляд

. (21)

Підставляючи знайдені функції (17) та (21) у вираз (14), отримуємо розв’язок даної задачі (11)–(13)

.