Перелік практичних занять

Практичне заняття № 1

Тема Диференціальні рівняння в частинних похідних (ДРЧП) 1-го порядку. Загальний розв’язок

Мета: сформулювати уявлення про ДРЧП 1-го поряду, про лінійне і квазілінійне ДРЧП 1-го поряду, загальний розв’язок ДРЧП 1-го порядку. Навчитися знаходити загальний розв’язок ДРЧП 1-го порядку.

Короткі теоретичні відомості

• Рівняння вигляду

, (1)

де – невідома функція, називається ДРЧП 1-го поряду.

• Рівняння

, (2)

де a, b, c – неперервні функції в деякій області G і задовольняють у ній умову , називається напівлінійним.

• Щоб розв’язати рівняння (2) необхідно скласти та розв’язати систему звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР)

. (3)

• Загальним розв’язком рівняння (2) є функція , де,– два лінійно незалежних інтеґрала системи (3).

• Завдання до теми

Знайти загальний розв’язок рівняння

.

Розв’язування. Запишемо систему рівнянь . Скориставшись властивістю пропорції, представимо рівнянняу вигляді

.

Інтеґруючи, отримуємо

.

Друге рівняння системи .

Загальний розв’язок даного рівняння має вигляд:

.

Завдання для перевірки знань

Знайти загальний розв’язок рівняння:

1. . Відповідь: .

2. . Відповідь: .

3. . Відповідь: .

4. . Відповідь: .

5. . Відповідь: .

Контрольні питання

• З якому випадку рівняння (1) називається квазілінійним?

• Що таке пучки та вісі Монжа?

• Які криві називають характеристичними?

• Чи відрізняється загальний розв’язок ДРЧП 1-го порядку від загального розв’язку ЗДР?

Література: [1-5].

Практичне заняття № 2

Тема ДРЧП 1-го порядку. Задача Коші.

Мета: дати уявлення про задачу Коші для ДРЧП 1-го порядку, навчитися знаходити поверхню, яка задовольняє рівняння та проходить через лінію.

Короткі теоретичні відомості

Щоб знайти поверхню , яка задовольняє рівнянню

(1)

та проходить через лінію

(2)

спочатку необхідно знайти загальний розв’язок рівняння (1), тобто два лінійно незалежних інтеґрала

і . (3)

Потім у (3) необхідно підставити (2) та отримати систему рівнянь у вигляді

(4)

Систему (4) можна переписати так: =0. Підставивши в останнє рівняння замістьіліві частини виразів (3), ми отримуємо розв’язок задачі Коші.

Завдання до теми

Знайти інтеґральну поверхню, яка задовольняє рівняння

та проходить через криву .

Розв’язування. Запишемо систему рівнянь та знайдемо її перші інтеґрали: ,.

Щоб знайти інтеґральну поверхню, яка проходить через криву , запишемо цю криву у параметричному вигляді. Наприклад, візьмемояк параметр:. Підставляючи ці вирази у перші інтеґрали, отримуємо,. Виключаючи, отримуємо. Підставляючи замістьіліві частини перших інтеґралів, знайдемо розв'язок даної задачі:

.

Завдання для перевірки знань

Знайти розв’язок задачі Коші для ДРЧП 1-го порядку та зробити його перевірку.

• , ,.

Відповідь: .

• , ,.

Відповідь: .

• , ,.

Відповідь: .

• , ,.

Відповідь: .

Контрольні питання

• Сформулюйте задачу Коші для ДРЧП 1-го порядку.

• У якому випадку задача Коші має один і тільки один розв'язок?

• У якому випадку задача Коші має нескінченну множину розв'язків?

Література: [1, 6].

Практичне заняття № 3

Тема Класифікація ДРЧП 2-го порядку та зведення до канонічного вигляду

Мета: засвоїти поняття про ДРЧП 2-го порядку, умови приналежності ДРЧП 2-го порядку до еліптичного, параболічного або гіперболічного типу. Виробити навички зведення ДРЧП 2-го порядку до канонічного вигляду.

Короткі теоретичні відомості

• Диференціальним рівнянням у частинних похідних другого порядку з двома невідомими змінними називаються співвідношення між невідомою функцією u(x,y) та її частинними похідними до другого порядку включно, тобто

.

• ДРЧП 2-го порядку називається лінійним, якщо воно має вигляд:

(1)

• Уведемо нові змінні ,. Перетворюючи похідні до нових змінних, одержуємо:

(2)

• (3)

Рівняння (3) називається характеристичним для рівняння (1), а його інтеґрали – характеристиками.

• Рівняння (3) – квадратне відносно похідної, тоді:

(4)

• називається дискримінантом рівняння (4).

• Рівняння (1) називається рівнянням гіперболічного типу, якщо D>0; еліптичного, якщо D<0; параболічного, якщо D=0.

• Рівняння таназиваються відповідно першою і другою канонічними формами гіперболічного рівняння.

• Рівняння називається канонічною формою еліптичного рівняння.

• Рівняння називається канонічною формою параболічного рівняння.