Пример 6. Плотность вероятности случайной величины

вероятности некоторой случайной величины η. Найти её функцию распределения F(x), математическое ожидание M[η], дисперсию D[η], среднее квадратическое отклонение ση и вероятность попадания случайной величины в интервал [1,3]. Построить графики плотности вероятности и функции распределения.

Следовательно, предложенную функцию можно рассматривать как плотность вероятности.

Найдем функцию распределения F(x) из соотношения

x

F(x)= ∫ f (x)dx .

−∞

Построим графики плотности вероятности и функции распределения

(рис. 4).

Рис. 4

двух способов, используя либо плотность вероятности, либо функцию распределения. В первом случае

Во втором –

P(1≤η≤3) = F(3)- F(1)= 0.04 32- 0.04 12=0.32.

Пример 7. Функция распределения случайной величины η

Показать, что эта функция может быть функцией распределения некоторой непрерывной случайной величины; найти её плотность вероятности f(x), математические ожидание M[η], дисперсию D[η], среднее квадратическое отклонение ση , построить графики функции распределения и

Решение. Чтобы F(x) могла быть функцией распределения непрерывной случайной величины она, во-первых, должна быть определена

пределы функции равны её значениям.Вовторых её область значения должна быть [0;1]. Действительно, все значения F(x) принадлежат интервалу

[0,1],(0≤ 12 (1 + sin x)≤1, таккакsin x [-1;1]).

И, наконец,

Из всего сказанного следует, что предложенная функция может быть функцией распределения непрерывной случайной величины.

Плотность вероятности найдем из соотношения f(x)=F′(x). Заметим, что F(x) задана разными выражениями в области её определения, следовательно, и f(x) также будет описана разными выражениями на этих интервалах

Рис.5

Найдем математическое ожидание:

Пример 8. Случайная величина распределена по нормальному закону с плотностью вероятности

22π е−(2х2+6х+4.5) .

Найти её математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, вероятность попадания в интервал [-2;-1]. Построить кривую плотности вероятности этой случайной величины.

Решение. 1. По виду формулы плотности вероятности определяем, что случайная величина распределена по нормальному закону, для которого

ση. Следовательно, M[η]=-1.5, σ η=0.5, D [η]=ση2 =0.25.

2.Найдем вероятность попадания заданной случайной величины в интервал [-2,-1].

По свойствам функции распределения вероятность попадания случайной величины в интервал [α;β)

(α ≤ η<β) = F(β) − F (α) ,

где F(x) – функция распределения случайной величины. Для нормально распределенной случайной величины функция распределения F(x) может быть выражена через её нормированную функцию Ф(х) формулой:

Учитывая, что Ф(-х)=1- Ф(х), и найдя в табл.3 приложения Ф(1)=0.8413, получим

Р( − 2 ≤η<-1)=2Ф(1)-1=0.6826.

3. Построим кривую плотности вероятности. Для этого на графике построим сначала кривую нормированной плотности вероятности (на рис. 6