Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Северо-Западный государственный заочный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для 1 курса

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.02.2016

Размер:

773 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Решение.

Если

кривая задана

параметрическими

уравнениями

x = x(t );

y = y (t ),

то

площадь криволинейной

трапеции,

ограниченной

этой

кривой,

прямыми x = a ,

x =b и отрезком [a,b] оси

Ox выражается формулой

рис.12

2π

= ∫y(t )x'(t )dt,

где t1 и t2

определяются из условий a = x(t1 ); b = x(t2 ). Здесь dx = 2(1 −cost )dt , а t

изменяется от t1 = 0 до t2 = 2π, следовательно:

S = 2π 2

(1 −cost )2(1 −cost )dt = 42π

1 − 2cost + cos2 t dt.

∫

(

)

1+cos 2t

Используя формулу cos2 t =

, будем иметь

2π

1 + cos 2t

S = 4

∫0

1 − 2cos t +

dt = 4 t − 2sin t

t +

sin 2t

= 4(2π +π )=12π.

= 4 2π −

2π

+ 0

Ответ: S =12π.

дуги кривой ρ =sin3 ϕ от ϕ = 0

= π .

Задача 65. Найти длину l

до ϕ

Решение. Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением

ρ = ρ(ϕ),

α ≤ϕ ≤ β , то длина l

дуги равна

l = ∫ ρ2 +(ρ')2 dϕ .

Найдем ρ'

cos

=sin

cos

Следовательно,

=3 sin

π / 2

l =

∫ sin6

cos

dϕ =

∫

sin6

+sin

cos2

dϕ

+ sin2

π / 2

sin

+cos

2 ϕ

π / 2

sin

2 ϕ

dϕ =

2π

−cos

2ϕ

∫

sin

dϕ

∫

∫ 1

dϕ =

2ϕ

π / 2

3 3

2π

−3 3

2π −3 3

ϕ −

sin

−

sin

−0 =

−

2 2

Ответ: l =

(2π −3

3).

Задача 66. Найти площадь S поверхности,

образованной вращением вокруг

оси Ox дуги кривой y =

x3 от x = 0 до x =1 (рис.13).

y		1
		1
1	y =	3 x3
3		x
0	1	x
0	1

рис.13

Решение. Если дуга y = f (x)(a ≤ x ≤ b)

вращается вокруг оси Ox , то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле

S = 2π∫y 1+(y ')2 dx .

Найдем производную y ' = 13 3x2 = x2 , тогда

2π

S = 2π∫0

13 x3 1+ x4 dx =

14 ∫0

(1+ x4 )2 4x3dx = π6 ∫0

(1+ x4 )

2 d (1+ x4 )=

(1 + x4 )

(2 2 −1).

= 6

3/ 2

6 32 (1 + x4 )2

Ответ: S = π9 (2

2 −1).

Задача 67. Найти объем V тела, образованного вращением вокруг оси Ox

дуги кривой

y =tgx от x = 0

до x = π

(рис.14).

y = tgx

Решение. Объем тела вращения Vx =π∫y2dx. В

нашем случае

π / 3

xdx

π / 3 sin2 x

π / 3

1 −cos2 x

dx =

V =π ∫ tg

=π ∫

cos

dx =π ∫

cos

π / 3

π0

/ 3

= π

∫

−1

dx = π (tgx − x )

рис.14

cos

= π

3 −

− 0

π (3 3 − π )

Ответ: V =

3 −π ).

Задача 68. Найти значение функции z = ln(2ex−2 y −1) в точке M0 (2,1) . Решение. Подставляя в выражение функции x = 2, y =1, получим

z(M0 ) = ln(2e2−2 1 −1) = ln(2e0 −1) = ln1 = 0.

Ответ: z(M0 ) = 0 .

Задача 69. Область определения функции задана системой неравенств

x2 +( y + 2)2 ≤ 25,

x −2 y +1 ≤ 0.

Сделать рисунок области и определить будет ли она ограниченным, замкнутым, связным множеством.

Решение. Рассмотрим сначала где выполняются равенства, то есть систему уравнений

M B

A O1

рис.15

x2 +( y + 2)2 = 25,

x −2 y +1 = 0.

Первое уравнение – уравнение окружности с

xцентром в точке O1 (0;−2) и радиусом равным 5. Второе уравнение – уравнение прямой.

Чтобы найти координаты точек пересечения окружности и прямой нужно решить систему уравнений. Решив систему, получим:

A(−5;−2), B(3;2).

Окружность делит плоскость на две части. Неравенство x2 +( y +2)2 < 25

выполняется во всех точках, расположенных внутри окружности. Для этого достаточно проверить выполнение его для любой точки, например, для точки O(0;0) . Таким же образом можно проверить, где верно неравенство x − 2 y +1 < 0.

Это будет множество точек, лежащим выше прямой AB . Одновременно система неравенств, задающих область определения функции, будет выполнятся для координат точек дуги AMB окружности, отрезка AB прямой и всех точек, расположенных между ними (рис.15).

Очевидно, что множество перечисленных точек будет ограниченным, замкнутым и связным множеством.

Задача 70. Найти частные производные функции z = x3 +e3 y . Решение. Находим частную производную по переменной x

∂∂xz = z′x = (x3 )′x +(e3 y )′x = 6x2 +0 = 6x2 .

Производная по x от второго слагаемого равна нулю, так как при дифференцировании по переменной x переменная y считается постоянной и,

следовательно, e3 y = const. Аналогично,

∂∂xz = z′y = (x3 )′y +(e3 y )′y = 0 +3e3 y = 3e3 y .

Здесь первое слагаемое от y не зависит и производная от него по y равна

нулю.

Ответ: ∂∂xz = 6x2 , ∂∂xz = 3e3 y .

Задача 71. Найти частные производные функции z = x3e2 y .

Решение.

′

= (x

2 y

′

= e

2 y

′

2 y

)x = 3x

Так как при дифференцировании по переменной x множитель e2 y

= const , то

его выносим за знак производной .

Аналогично,

′

2 y

′

= x

2 y ′

= x

(2e

2 y

) = 2x

Ответ: ∂z 3x2e2 y ,

∂z

2x3e2 y .

∂x

Задача 72. Найти частные производные функции z = x3e3x+2 y .

x оба

Решение. В данном случае при дифференцировании по переменной

множителя зависят от x поэтому

′

3x+2 y

′

3x+2 y

+ x

3x+2 y

+ x

3x+2 y

+ x).

zx = (x

)x = (x

)x e

= 3x

3 = 3x

При дифференцировании по переменной y имеем

′

= (x

3x+2 y ′

= x

3x+2 y

′

3 3x+2 y

)y = x e

2x e

Ответ: z′y =3x2 (1+ x) e3x+2 y ,

z′y

= 2x3e3x+2 y .

Задача 73. Найти частные производные функции u = x2 y + z2ex+yz . Решение. Функция в данном примере - функция трех переменных x, y и z .

Следовательно, и частных производных у нее три.

Находим производную по x , считая y = const и z = const ,

u′x = 2xy + z2ex+yz .

При дифференцировании по y переменные x и z считаем постоянными

u′y = x2 + z2ex+yz (x + yz)′y = x2 + z3ex+yz .

Учитывая, что x = const и y = const , при дифференцировании по z имеем

′

+(z

′

x+yz

+ z

x+yz ′

x+yz

+ z

x+yz

′

uz = (x

y)z

)z e

)z = 0 + 2ze

(x + yz)z =

= 2zex+yz + z2ex+yz y = z(2 + yz)ex+yz .

Ответ: u′x

= 2xy + z2ex+yz , u′y = x2 + z3ex+yz , u′z = z(2 + yz)ex+yz .

Задача 74. Найти полный дифференциал функции u =

и его выражение в

точке M0 (1;0;2).

Решение. Полный дифференциал функции трех переменных находится по формуле

du = ∂∂ux dx + ∂∂uy dy + ∂∂uz dz.

Найдем сначала частные производные

∂u

;

∂u

;

∂u

= −

∂x

∂y

∂z

Теперь запишем

du =

dx +

dy −

dz =

( yzdx + xzdy − xydz).

Подставляя в это выражение x =1, y = 0, z = 2, получим

2dx +1 2dy −1 0dz) =

dy.

Ответ:

du =

( yzdx + xzdy − xydz);

dy.

Задача 75. Написать уравнения нормали и касательной плоскости к

поверхности z = 3 x2 + y2 +3 в точке M

, для которой x

=1, y

= −2,

= 2.

Решение. В случае явного задания поверхности, т.е. уравнением,

разрешенным

относительно z :

z = f (x, y), уравнение

касательной

плоскости

имеет вид: ∂f

(x − x ) +

∂f

( y − y

)

−(z − z

) = 0,

∂x

∂y

а уравнения нормали

x − x0

y −

z − z0

∂f

−1

∂x

∂y

Поверхность задана явным уравнением. Находим частные производные

fx′(x, y) =

x(x2 + y2

+3)−

3 , fy′(x, y) =

y(x2

+ y2 +3)−3 .

Вычислим их значения в данной точке M0 (1, −2,2)

fx′(1, −2) =

;

fy′(1, −2) = −

и, подставив в соответствующее уравнение касательной плоскости, получим

(x −1) −

( y + 2) −(z −2) = 0 или

x − 2 y −6z + 7 = 0 - уравнение касательной

плоскости. Уравнения нормали к поверхности имеют вид

x −1

y + 2

z −2

−1

−3

или, умножив на 6 все знаменатели, получим

x −1

y + 2

z − 2

−2

−6

Ответ: Уравнения нормали

x −1

y + 2

z −2

; уравнение касательной

плоскости x −

2 y −6z + 7 = 0.

−2

−6

Задача 76. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

π .

z =sin x +cos(x + y) в области

: 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤

Решение. Сделаем рисунок области

. Границами ее будут прямые x = 0;

x =

; y = 0

и y = π . (рис.16)Так как

область

ограниченная и

замкнутая, то

наибольшее и наименьшее значения функция может принимать либо в точках экстремума внутри области, либо на границе.

1. Исследуем внутренние точки области. Ищем стационарные точки внутри области D (точки, где выполняются необходимые условия экстремума). Для этого находим частные производные

						z′x	= cos x −sin(x + y),
π	A			B		z′y	= −sin(x + y).
π						Приравнивая частные производные нулю,
2						Приравнивая частные производные нулю,
2						получаем систему
	M0					cos x −sin(x + y) = 0,
	M0				C x
O		M				sin(x + y) = 0.
						sin(x + y) = 0.
			1	π		Прибавляя к первому уравнению второе,
			1	2		Прибавляя к первому уравнению второе,
	рис.16			2		переходим к системе
	рис.16						cos x = 0,
							cos x = 0,
							sin(x + y) = 0.	π
Первое		уравнение				системы имеет множество решений x =		π	+πn, n Z.
								2

Заметим, что при любом n , решения не принадлежат открытому промежутку

(0; π2 ). Следовательно, и все стационарные точки не принадлежат открытой области

D	0	< x <	π	;0	< y <	π	: экстремумов внутри области D нет.
			2			2

2. Исследуем функцию на границе области, которая состоит из четырех участков, заданных разными уравнениями.

а) Участок границы M0 A - отрезок прямой x = 0, при этом 0 ≤ y ≤ π2 . На

прямой x = 0 заданная функция принимает вид z = cos y, то есть становится функцией одной переменной y . Наибольшее и наименьшее значения она (как функция одной переменной) может принимать в стационарных точках внутри

промежутка[0;	π ] или в граничных точках y = 0 и		y = π	(точки	M0	и A на
рисунке).	2		2
рисунке).
Ищем стационарные точки: находим производную и приравниваем ее нулю
z′y = (cos y)′y = −sin y;sin y = 0; y =πn; n Z.		При	любом n		y (0; π ).
				z = cos y		2
Стационарных	точек нет. Находим значения	функции		z = cos y	на	концах

промежутка (точки M0 (0;0)

z(M0 ) = cos 0 =

1; z( A) = cos

= 0.

и A

)

б) Участок границы

M0C -

отрезок прямой

y = 0

(0 ≤ x ≤ π ). На прямой

y = 0 исследуемая функция имеет вид z =sin x +cos x .

Ищем стационарные точки:

z′x = cos x −sin x;

cos x −sin x = 0;

cos x = sin x;

tgx =1;

x = π

+πn, n Z.

Промежутку (0; π ) принадлежит только точка x =

π . На этом промежутке

(π ;0).

одна стационарная точка M1

π +cos

π =

z(M1 ) = sin

В граничной точке C

имеем z(C) =1.

(0 ≤ x ≤ π ).

в) Участок границы

AB -

отрезок прямой

y =

На этом

π )..

участке z = sin x +cos(x +

Так как cos(x + π ) = −sin x, то имеем z =sin x −sin x = 0.

AB функция принимает одно и

Из этого следует, что во всех точках отрезка

тоже значение равное нулю (в том числе и в граничных точках A и B ).

г) Участок границы BC : x = π

;0 ≤ y ≤

π . Исследуемая функция имеет вид

z = sin π

+cos(π + y) =1−sin y.

Находим z′y = −cos y; cos y = 0, y =	π	+πn, n Z. При любом n
	2

y 0; π2 .

В граничных точках участка	π		;	π	и	π		;0	значение функции уже
	B	2		2		Ñ	2

найдены.

3. Сравниваем значения функции во всех точках, в которых она может иметь наибольшее и наименьшее значения

z(M0 ) =1, z( A) = 0; z(M1 ) = 2; z(B) = 0, z(C) =1.

Наибольшее значение функция имеет в точке M1, наименьшее в точках отрезка AB.

Ответ: zнаиб = 2, zнаим = 0.

Библиографический список

1.Лобунина, И.И. Основы линейной алгебры: учеб. пособие /И.И. Лобунина. – СПб.: Изд-во СЗТУ, 2006

2.Романова, Ю.С. Аналитическая геометрия: учеб. пособие /Ю.С. Романова. - СПб.: Изд-во СЗТУ, 2006

3.Шепелявая, Н.Б. Введение в математический анализ: учеб. пособие /Н.Б. Шепелявая. - СПб.: Изд-во СЗТУ, 2006.

4.Волынская, И.А. Дифференциальное исчисление функций одной переменной: учеб. пособие /И.А. Волынская. - СПб.: Изд-во СЗТУ, 2006.

5.Потапенко, А.А. Интегральное исчисление функций одной переменной: учеб. пособие /А.А. Потапенко. – СПб.: Изд-во СЗТУ, 2006.

6.Гаврилов В.Л. Дифференциальное исчисление функций многих переменных: учеб. пособие /В.Л. Гаврилов. - СПб.: Изд-во СЗТУ, 2006.

Cодержание

1.Примеры решения типовых задач к контрольной работе №1 по 3 разделам: ”Линейная и векторная алгебра’’, ”Аналитическая геометрия”

2.Примеры решения типовых задач к контрольной работе №2 по 17 разделам: ”Математический анализ”, ”Дифференциальное исчисление функции одной переменной”

3.Примеры решения типовых задач к контрольной работе №3 по 23 разделам: ”Дифференциальное исчисление функции одной переменной”, ”Интегральное исчисление функции одной переменной”

4.Примеры решения типовых задач к контрольной работе №4 по 38 разделам: ”Интегральное исчисление функции одной переменной”, ”Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных”

5. Библиографический список

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.02.2016178 Кб11Маркетинг.docx
#
16.02.201678 Кб15Маркетингб.doc
#
16.02.2016164 Кб10Маркетингт.doc
#
16.02.2016120 Кб19Мат.ч.1.doc
#
16.02.201646 Кб21Мат.ч.2.doc
#
16.02.2016773 Кб57Математика для 1 курса.pdf
#
18.11.20185 Мб42МАТЕМАТИКА методичка.doc
#
16.02.20162 Мб76Математика ч.1 (УМК 7,8).pdf
#
16.02.20162 Мб47Математика ч.2 (УМК).pdf
#
16.02.20162 Мб44Математика часть 1 УМК.pdf
#
16.02.201645 Кб27Математика(шифр 03).docx