Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Северо-Западный государственный заочный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для 1 курса

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.02.2016

Размер:

773 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>


=	3	ln	x2 − 4x +8	+ 5∫					dx			=		3		ln		x2	− 4x +8
	3								dx					3
	2						(x − 2)			2	+ 4			2
	2						(x − 2)				+ 4			2						x − 2
		=			3	ln		x2	− 4x +8				+		5		arctg				+
					3										5

					2									2					2
					2									2					2

где C - произвольная постоянная.

Задача 38. Найти интеграл ∫3sin3 x cos xdx . Решение. Произведем подстановку t =sin x, тогда

интеграл ∫sin3 xcos xdx =∫t3dt = t4	+C =	1 sin4	x +C,
4		4
C - произвольная постоянная.

+ 5∫	d (x − 2)				=

	(x − 2)	2	+ 2	2

dt = cos xdx . Подставим в

Задача 39. Найти интеграл ∫

sin 2x

dx .

3 −cos4

Решение.

Произведем подстановку

cos2 x =t ;

тогда

−2cos xsin xdx = dt,

т.е. sin 2xdx = −dt. Теперь находим

+C = −arcsin cos2 x

∫

sin 2x

dx = −∫

= −arcsin

+C,

3 −t2

3 −cos4 x

где - C - произвольная постоянная.

Задача 40. Найти интеграл ∫

dx .

−5

Решение.

Положим

e2 x = t ,

тогда

e2 x 2 dx = dt;

или

e2 x dx =

dt .

Подставив в интеграл, получим

∫

e2 x

dx =

∫

t − 5

+C =

e2 x − 5

+C,

4 x

−

−5

t +

2 x

+ 5

2 5

4 5

где - C - произвольная постоянная.

Задача 41. Найти интеграл ∫x2

x3 +5dx.

Решение.

Введем

подстановку

x3 +5 = t;

тогда

x3 +5 =t2 .

Дифференцируем

обе

части

равенства:

3x2dx = 2tdt,

отсюда

x2dx =

tdt ,

следовательно,

2 t

∫x

+5dx = ∫t

∫t

+5 ) +C,

3 tdt =

3 3

+C =

9 (

где - C - произвольная постоянная.

Задача 42. Найти интеграл ∫

2x −9

t2 +9

Решение.

Введем подстановку

2x −9 =t; тогда

2x −9 =t2 ,

dx =

2tdt; dx =t dt . Подставим в интеграл

tdt

2x −9

∫

= ∫

= 2∫

arctg

+C =

arctg

+C,

+9)

2x −9

где - C - произвольная постоянная.

Задача 43. Найти интеграл ∫

x4 dx

−2

Решение.

Применим

подстановку

x5 = t;

тогда

5x4dx = dt ,

4dx =

dt ,

следовательно, интеграл примет вид

∫

x4 dx

= ∫

5 dt

1 ∫

1 ln

t + t2 −2

+C =

1 ln

+ x10

− 2

+C.

x10 −2

t2 −2

Задача 44. Найти интеграл ∫x2 ln xdx .

Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям, положив

u = ln x;		dv = x2dx,
тогда			x3
du =	1 dx;	v = ∫x2dx =		.

	x	3

Применяя формулу интегрирования по частям, получим

∫x2 ln xdx =	x3	ln x −	1	∫x2dx =	x3	ln x −	1		x3
			3				3
3				3				3

где - C - произвольная постоянная.

Задача 45. Найти интеграл ∫x arctgxdx .

Решение. Пусть

u = arctgx;

dv = x

+C = x3 ln x − x3 +C, 3 9

dx,

тогда

du =	1		dx; v = ∫xdx =	x2	.
	+ x	2		2
1

Используя формулу интегрирования по частям, имеем

∫x arctgxdx =	x2	arctgx − ∫	x2	1		dx =	x2	arctgx −	1	∫	x2		dx .
	2			1+ x	2		2		2		1+ x	2
		2

В последнем интеграле сначала прибавим и вычтем единицу в числителе, а потом поделим почленно числитель на знаменатель. Получим

		∫x arctgxdx =				x2					1	∫	(x2 +1)			−1
							arctgx −								2	dx =
					2		arctgx −				2		1 + x		2	dx =
					2						2		1 + x
=	x2	arctgx −	1	∫dx − ∫		dx			=	x2	arctgx −			1		x +	1	arctgx +C,

	2		2		1 + x			2		2				2			2
	2		2		1 + x					2				2			2

где - C - произвольная постоянная. Задача 46. Найти интеграл ∫x2exdx .

Решение. Пусть	dv = exdx,
u = x2 ;
тогда	v = ∫ex dx = ex .
du = 2xdx;

Применяя формулу интегрирования по частям, можем написать

∫x2exdx = x2ex −2∫xex dx.

Чтобы найти ∫xex dx , применим еще раз интегрирование по частям. Полагаем u = x; dv = exdx; тогда du = dx; v = ex и

∫x2exdx = x2ex −2(xex − ∫exdx)= x2ex − 2xex + 2ex +C = ex (x2 − 2x + 2)+C,

где - C - произвольная постоянная.

Задача 47. Найти интеграл J = ∫ex sin xdx .

Решение. Пусть
u = ex ;	dv = sin xdx,
тогда
du = exdx;	v = ∫sin xdx = −cos x.

Следовательно, J = ∫ex sin xdx = −ex cos x + ∫ex cos xdx.

Попробуем еще раз проинтегрировать по частям последний интеграл.

Принимаем u = ex ; dv = cos dx; тогда du = exdx;				v =sin x , получаем
J = −ex cos x +(ex sin x − ∫ex sin xdx) или J = −ex cos x +ex sin x − J.
Из этого уравнения находим			ex
2J = −ex cos x + ex sin x, т.е. J =			ex	(sin x −cos x)+C,
2J = −ex cos x + ex sin x, т.е. J =				(sin x −cos x)+C,
где - C - произвольная постоянная.		2
где - C - произвольная постоянная.	dx
Задача 48. Найти интеграл ∫	dx	.
Задача 48. Найти интеграл ∫	5x +7	.
	5x +7

Решение. Умножив числитель и знаменатель подинтегральной функции на 5,

получим

5dx

d (5x +7)

∫

5x +

+C,

5x +7

5 5x +7

где - C - произвольная постоянная.

Задача 49. Найти интеграл ∫

(3x + 2)

Решение.

∫

= ∫(3x +

2)−2dx =

∫(3x + 2)−2 3dx =

∫(3x + 2)−2 d (3x + 2)=

(3x + 2)

1 (3x + 2)−1

(−1)

+C = −

+C,

3(3x + 2)

где - C - произвольная постоянная.

Задача 50. Найти интеграл ∫

+6x +

Решение.

Выделим

полный

квадрат

знаменателе,

т.е.

x2 +6x + 25 = (x +3)2 +16, тогда

d (x +3)

∫

= ∫

arctg

x +3

+C,

+6x + 25

(x +3)

+16

(x +3)

+16

где - C - произвольная постоянная.

Задача 51. Найти интеграл ∫

x2 + 2x +6

dx .

(x −1)(x −2)(x −4)

Решение.

Так

как

каждый

из

двучленов

x −1,

x −2, x −4 входит в

знаменатель в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей 1-го типа:

x2 + 2x +6	=	A	+	B	+	C	,
(x −1)(x −2)(x −4)		x −1		x − 2		x − 4

где A, B,C - некоторые постоянные.

Приведем правую часть к общему знаменателю и приравняем числители, получим

x2 + 2x +6 = A(x −2)(x −4)+ B(x −1)(x −4)+C (x −1)(x −2).

(6)

Следовательно,

x2 + 2x +6 = A(x2 −6x +8)+ B(x2 −5x + 4)+C (x2 −3x + 2).

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями x :

x2 + 2x +6 = x2 (A + B +C)+ x(−6A −5B −3C)+(8A + 4B + 2C).

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , получаем систему уравнений

A + B +C =1,−6A −5B −3C = 2,8A + 4B + 2C = 6,

из которой найдем A = 3, B = −7, C = 5 .
Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид
	x2 + 2x +6	3		7		5
		=		−		+		.
	(x −1)(x −2)(x −4)		x −1		x − 2		x − 4
Неизвестные A, B,C в разложении можно						определить иначе.			После
освобождения от знаменателя можно придать x столько частных значений,									сколько

содержится в системе неизвестных, в данном случае – три частных значения. Особенно удобно придавать x значения, являющиеся действительными корнями знаменателя.

Применим этот прием. После освобождения от знаменателя мы имеем

равенство (6):

x2 + 2x +6 = A(x −2)(x −4)+ B(x −1)(x −4)+C (x −1)(x −2).

Положим x =1, тогда

1+ 2 +6 = A(1−2)(1−4);

откуда

9 = 3A; A = 3.

Полагая x = 2, получаем 14 = −2B; т.е.

B = −7 . Полагая

x = 4, имеем 30 = 6C ,

т.е. C = 5 . В результате получились те же значения, что и при первом способе

определения неизвестных. Таким образом,

x2 + 2x +6

∫

dx =3∫

−7∫

+5∫

(x −1)(x −2)(x −4)

x −1

x −2

x − 4

=3ln

x −1

−7ln

x −2

+5ln

x −

+C = ln

(x −1)3

(x −4)5

+C,

(x −2)7

где - C - произвольная постоянная.

3x + 2

Задача 52. Найти интеграл ∫

dx .

x(x +1)

Решение. Подынтегральная дробь правильная. Разложение подынтегральной

функции на простейшие будет иметь вид

3x + 2

x(x +1)3

x +1

+1)2

(x +1)3

Приведем правую часть к общему знаменателю и приравняем числители, получим

3x + 2 = A(x +1)3 + Bx(x +1)2 +Cx(x +1)+ Dx.

Комбинируя метод частных значений и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , найдем:

x = 0

2 = A, A = 2,

x = −1

−1 = −D, D =1,

0 = A + B; B = −A; B = −2,

0 =3A + 2B +C = 6 −4 +C;0 = 2 +C;C = −2;

Теперь можем написать

∫

3x + 2

dx = 2∫dx

−2∫

+ ∫

x(x +1)

x +

(x +1)

= 2ln | x | −2ln | x +1| −2∫(x +1)−2 d

(x +1)+ ∫(x +1)−3d (x +1)=

(

)

(

)

= 2ln | x | −2ln | x +1| −2

x +1

−1

x +

1 −2

+C = 2ln

−

+C,

(−1)

(−2)

x +1

(x +1)2

где - C - произвольная постоянная.

Задача 53. Найти интеграл ∫

4sin x +3cos x +5

Решение. Применим подстановку tg

= t,

тогда

1 −t2

2dt

sin x =

;

cos x =

;

dx =

+t2

1 +t2

2dt

1+t2

∫

= ∫

1 +t2

= 2∫

4sin x

+3cos x

1 −t

8t +3

−

+5 +5t

+t2

= 2∫

= 2

∫

= ∫

= ∫(t + 2)−2 d (t + 2)

= −

+C.

+ 4t + 4

+ 2)

+8t +8

Возвращаясь к старой переменной, получим

∫

= −

+C,

4sin x +3cos x +5

+ 2

где - C - произвольная постоянная.

Задача 54. Найти интеграл ∫

sin2 x −4sin xcos x +5cos2 x

Решение. Применим подстановку tgx =t, при этом

sin x =

, cos x =

; dx =

1 +t2

1+t2

Тогда

∫

1 +t2

sin

−4sin xcos x +

5cos

−

1 +t2

+t2

= ∫

(

t −2

)

= arctg (t − 2)+C = arctg (tgx − 2)+C,

−4t +5

−2)

−

где - C - произвольная постоянная.

Задача 55. Найти интеграл ∫

(2x +

2 / 3

−(2x

1/ 2

+1)

Решение.

Применим

подстановку

2x +1 =t6 ;

продифференцировав это

соотношение, получим 2dx = 6t5dt;т.е.

dx =3t5dt. Следовательно,

∫

= ∫

3t5dt

=3∫

dt =3∫

dt.

(2x +1)2 / 3 −(2x +1)1/ 2

t4 −t3

t3 (t −1)

t −1

Прибавим и вычтем единицу в числителе последнего интеграла, получим

(t2 −1)+1

dt =3

1 +

dt =

∫(2x +1)2 / 3 −(2x +

1)1/ 2

∫

t −

∫

−1

tdt +

dt +

+3t +3ln

t −1

+C,

∫

∫t −1

где - C - произвольная постоянная.

Возвращаясь к старой переменной t = (2x +

1)6 , получим

∫

3 (2x +1)3

+3(2x

+1)6 +3ln

6 2x +1 −1

+C.

2 / 3

1/ 2

(2x +1)

−(2x +1)

ln 5

−1dx .

Задача 56. Найти интеграл

∫

Решение.

Положим t =

ex −1,

тогда t2 = ex −1,

ex =t2 +1, 2tdt = exdx .

При x = 0

t =

e0 −1 = 0 ; при x = ln5

t =

eln 5 −1 =

5 −1 = 2 , поэтому

ln 5 ex

−1

t2tdt

2 (t2 + 4)− 4

∫

= ∫

= 2∫

dt = 2∫

+1 +

+ 4

0 t

= 2∫

−

= 2

∫dt − 4∫

= 2 t

−

2arctg

+ 4

0 t

+ 4

= 2(2 − 2arctg1)= 4

− 4

= 4 −π.

														5 / 2							x2dx						dx .
Задача 57. Найти интеграл														∫
Задача 57. Найти интеграл														∫
														0						25 − x2
Решение.				Введем подстановку																	x =5sin t ;									тогда					dx =5costdt .				При x = 0
sin t = 0 , t = 0 . При x =									5	,	5sin t =								5		;	sin t				=		1	;	t =				π	. Имеем
sin t = 0 , t = 0 . При x =									2	,	5sin t =								2		;	sin t				=			;	t =				6	. Имеем
									2										2							2								6
						5		x2dx			π			25sin2 t 5costdt																					π
						2		x2dx			6			25sin2 t 5costdt																					6
						∫					= ∫																				= 25				∫sin2 tdt .
						∫		25 − x2			= ∫										5cost										= 25				∫sin2 tdt .
						0		25 − x2			0										5cost														0
Применим формулу sin2 t =															1 −cos 2t										, находим
Применим формулу sin2 t =																									, находим
																					2
5		2						π								π																		π			π
2	x	2	dx					6					25				6													25				6		1	6
∫	x		dx		= 25∫sin2 tdt =								25				∫	(1 −cos 2t )dt =												25				∫dt −		1	∫cos 2td (2t ) =
∫					= 25∫sin2 tdt =							2					∫	(1 −cos 2t )dt =													2			∫dt −		2	∫cos 2td (2t ) =
0	25 − x2							0				2					0														2			0		2	0

						25			1					π					25				π			1 3						25(2π −3 3 )
						25			1					6					25				π			1 3						25(2π −3 3 )
				=				t −		sin 2t							=							−							=							.
				=		2		t −	2	sin 2t							=		2				6	−		2 2					=				24			.
														0
														0
														1
Задача 58. Найти интеграл ∫xe−xdx.
														0
Решение. Воспользуемся методом интегрирования																																				по частям.			Положим
u = x ; dv = e−xdx , откуда du = dx ;																		v = ∫e−xdx = −∫e−xd (−x)= −e−x , тогда
						1												1			1												1			1
							∫xe−xdx = −xe−x											1		+ ∫e−xdx = −xe−x													1			1
							∫xe−xdx = −xe−x											0		+ ∫e−xdx = −xe−x													0 −e−x			0	=
								0													0

=−e−1 −e−1 +1 = −2e−1 +1 = −e2 +1 = e −e 2 .

4.Примеры решения типовых задач

к контрольной работе №4

[6], с. 3...56

Разделы: ”Интегральное исчисление функции одной переменной”,

”Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных”

+∞ dx

Задача 59. Вычислить несобственный интеграл ∫e x ln x или установить его расходимость.

Решение. Используя определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку и формулу Ньютона-Лейбница, будем иметь

+∞

(ln x)2

∫

= lim ∫

(ln x)−

2 d (ln x)= lim

e x

ln x

A→+∞ e

A→+∞

ln x

A = 2

ln A − ln e

)

= lim 2

lim

= +∞,

A→+∞

(A→+∞

интеграл расходится.

+∞

xdx

Задача 60. Вычислить несобственный интеграл ∫

или установить

(x2 +5)3

его расходимость.

Решение. Используя определение несобственного интеграла по бесконечномупромежутку и формулу Ньютона-Лейбница, можем написать

		+∞					xdx										A							3									1			A							3
		∫					xdx						= lim			∫		(x2 +5)−2 xdx = lim															1		∫		(x2 +5)−						2 2xdx =
		∫	(x2 +5)3										= lim			∫		(x2 +5)−2 xdx = lim															2		∫		(x2 +5)−						2 2xdx =
		2	(x2 +5)3											A→+∞			2													A→+∞			2			2
					1						A	(x2 +5)−						3										1 (−2) lim									(x2		+5)−				1	A
											A							3																									1	A
		=						lim			∫							2 d (x2 +5)=																									2		=
					2 A→+∞						2																	2				A→+∞												2
											2																																	2

																	1									1										1			1
										= −															−					= − 0 −								=			,
										= −												1			−	9				= − 0 −						3		=	3		,
														lim			A		2	+5	)	2				9										3			3
														lim			A			+5		2
														A→+∞(												1
следовательно, интеграл сходится и равен																										1	.
следовательно, интеграл сходится и равен																											.
																										3																1	x2 −6x +5
																																										1	x2 −6x +5						dx или
Задача 61.									Вычислить									несобственный интеграл																								∫
Задача 61.									Вычислить									несобственный интеграл																								∫			2 x
установить его расходимость.																																										0			2 x
установить его расходимость.
			1					2													1					3				1				−1
			∫			x −6x						+5					1				∫
Решение.															dx =					lim				x		2 −6x2 +5x										2 dx			=
			0						2 x								2 ε→0+0 ε
	1			2					5				2	3						1			1			1			2		1											1				16		1
									5					3						1

=		lim						x2 −6						x2 +		5 2x2								=						−		4 +5 −0								=			+3		=		= 3			.
=	2	lim		5				x2 −6					3	x2 +		5 2x2								=		2			5	−	2	4 +5 −0								=		5	+3		=	5	= 3	5		.
	2	ε→0+0		5									3													2			5		2											5				5		5
																							ε
																							ε

Интеграл сходится и равен 3 15 .

Задача 62. Используя признаки сходимости, установить сходится или

sin x

dx.

расходится несобственный интеграл ∫

1− x2

sin x

Решение. Сначала заметим, что функция

непрерывна на промежутке

[

1 − x2

)

[

)

имеет бесконечный

разрыв

точке

x =1. Но в

промежутке

0,1

выполняется неравенство

sin x

≤

. Исследуем на сходимость интеграл

1− x2

= lim

= lim arcsin x

0A =

π −0 =

π .

∫

1− x2

A→1−0

1− x2

A→1−0

Следовательно, на основании признака сравнения сходится и данный

интеграл, причем сходится абсолютно.

y + x −5 = 0 и

Задача 63. Найти площадь S фигуры, ограниченной линиями:

xy = 4 (рис.11).

Решение. Построим графики функций

найдем

точки

их

пересечения.

Для

определения

точек

пересечения решим

систему

y + x

−5 = 0,

x = 5 − y,

− y)y = 4,

xy = 4,

x = 5 − y,

5y − y2 −4 = 0.

Решаем

квадратное

уравнение

рис.11

y2 −5y +4 = 0.

Получаем

y =1,

тогда

y2 = 4,

x2 =1. Следовательно,

A(1;4)

= 4 , и

тогда

точки

пересечения

(4;1). Тогда площадь, ограниченная данными линиями, находится по формуле:

S =

∫1

5 − x −

dx = 5x −

− 4ln x

= 20 −8 −

4ln 4 −

5 −

−0

=12 −4ln 4

− 9

− 4ln 4 =15 −8ln 2.

Ответ: S = 7,5 −8ln 2.

Задача 64. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной одной аркой

циклоиды

x = 2(t −sin t ),

y = 2(1 −cost ) и осью Ox (рис.12).

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.02.2016178 Кб11Маркетинг.docx
#
16.02.201678 Кб15Маркетингб.doc
#
16.02.2016164 Кб10Маркетингт.doc
#
16.02.2016120 Кб19Мат.ч.1.doc
#
16.02.201646 Кб21Мат.ч.2.doc
#
16.02.2016773 Кб57Математика для 1 курса.pdf
#
18.11.20185 Мб42МАТЕМАТИКА методичка.doc
#
16.02.20162 Мб76Математика ч.1 (УМК 7,8).pdf
#
16.02.20162 Мб47Математика ч.2 (УМК).pdf
#
16.02.20162 Мб44Математика часть 1 УМК.pdf
#
16.02.201645 Кб27Математика(шифр 03).docx