3. Порядок выполнения работы

Задание

1. Выполнить решение примера индивидуального контрольного задания по шести первым точкам (с.77), используя первую интерполяционную формулу Ньютона.

1.4. Реализовать вычисление коэффициентов интерполяционного многочлена средствами MS Excel.

Лабораторная работа 2

Приближенное решение уравнений.

Отделение корней. Уточнение корней методом касательных.

1. Цель работы

Ознакомление с численными методами решения конечных уравнений.

2. Основные теоретические положения

Пусть дано уравнение f(x) = 0, где f(x) – непрерывная функция на некотором отрезке. Корни этого уравнения x*– те значения аргумента x, которые обращают уравнение в тождество. Найти приближенное значение корня x* с точностью ε означает указать интервал длиной не более ε, содержащий значение корня x.

При отыскании приближенных значений корней уравнения приходится решать две задачи:

1) отделение корней, т.е. выделение интервалов из области непрерывности функции, в каждом из которых заключен только один корень уравнения;

2) уточнение корня, т.е. построение итерационного процесса, позволяющего сузить границы выделенного интервала до значения заданной точности.

2.1. Отделение корней Графический метод отделения корней

При графическом методе можно построить график функции для уравнения вида f(x) = 0. Значения действительных корней уравнения являются абсциссами точек пересечения функции y = f(x) с осью х.

Пример. Отделить корни уравнения x³ - 8x + 2 = 0 графическим методом, где x[-3, 3].

Решение.

○Для отделения корней можно построить график функции y = x³ -8 x + 2 (рис. 1), задав шаг изменения аргумента, например, равным 1. График удобно строить средствами Excel, используя Мастер диаграмм. Значениями действительных корней уравнения являются точки пересечения графика функции с осью x. Из графика видно, что корни находятся на интервалах [-3; -2], [0; 1] и [2; 3]. Если задать шаг изменения аргумента меньше выбранного, можно сузить границы интервалов.■

Рис. 1

Аналитический метод отделения корней

Для отделения действительных корней непрерывных функций следует помнить следующее:

• если функция f(x) непрерывна на интервале [a, b] и имеет на концах интервала [a, b] одинаковые знаки (т.е. f(a)·f(b) > 0), то на этом интервале имеется четное число корней или их нет (рис. 2);

! нельзя забывать, что корнем функции может быть не только точка пересечения графика функции f(x) с осью x, но и его касание с осью x (рис. 3). В этом случае монотонность функции нарушается.

Рис. 2 Рис. 3

• если функция f(x) непрерывна на интервале [a, b] и имеет на концах интервала [a, b] разные знаки (т.е. f(a)·f(b) < 0), то на этом интервале имеется нечетное число корней (рис. 4, 5);

Рис. 4 Рис. 5

! Разные знаки функции на концах интервала указывают на наличие корня на интервале [a, b], но не гарантируют его единственности.

• если функция f(x) непрерывна на интервале [a, b], монотонна и ее значения на концах интервала имеют разные знаки (f(a)·f(b) < 0), то уравнение на этом интервале имеет единственный корень.

Из этого следует, что для единственности корня на участке [a, b] достаточно, чтобы выполнялись условия: f(a)·f(b) < 0, а f'(x) была знакопостоянна для любого x, принадлежащего [a, b].

! иногда для единственности корня бывает достаточно и знакопостоянства второй производной.

Таким образом, чтобы отделить все корни уравнения, следует:

• найти промежуток, где f(a)·f(b) < 0, а f'(x) или f''(x), или и f'(x), и f''(x), были знакопостоянны;

• отыскать нули и точки разрыва f'(x) и проверить, не являются ли они корнями уравнения.

Пример (продолжение). □Отделить все действительные корни уравнения f(x) = 0 на отрезке [-3, 3]:

f(x) = x³ - 8x +2 = 0.

Решение.

Вычислим значения функции f(x) на концах отрезка [-3, 3]:

f(-3) = (-3)³ - 8·(-3) + 2 = -1, f(3) = (3)³ - 8·3 + 2 = 5.

f(-3)∙f(3) < 0, поэтому на отрезке [-3, 3] имеется или один корень, или нечетное число корней.

f'(x) = 3x² - 8 – непрерывна. Для определения интервалов монотонности f(x) найдем значения x, при которых f'(x) = 0. f'(x) = 3x² – 8 = 0 при x = ≈ ±1,633.

Таким образом, можно отделить следующие интервалы монотонности функции f(x): [-3; -1,633], [-1,633; 1,633], [1,633; 3] и на каждом из этих интервалов отделено по одному корню уравнения.

Для наглядности вычислим значения f(x) и f'(x) на концах этих промежутков (табл. 1). f'(x) = 3x² – 8.

Таблица 1