- •Кафедра информатики математика ч.2 Численные методы, теория функций комплексного переменного, дискретная математика
- •1. Информация о дисциплине
- •1.2. Содержание дисциплины и виды учебной работы3
- •Раздел 1. Численные методы (59 часов)
- •Тематический план дисциплины
- •Тематический план дисциплины
- •2.3. Структурно-логическая схема дисциплины
- •3.2. Опорный конспект
- •Раздел 1. Численные методы
- •1.1. Обработка результатов измерений и погрешности вычислений
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.1
- •1.2. Интерполяция и численное дифференцирование
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.2
- •1.3. Численное интегрирование
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.3
- •1.4. Приближение функций
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.4
- •1.5. Многомерные задачи
- •1.6. Численные методы алгебры
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.6
- •1.7. Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации
- •1.8. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.8
- •Раздел 2. Теория функций комплексного переменного
- •2.1. Комплексные числа и действия над ними
- •Вопросы для самопроверки по теме 2.1
- •2.2. Функции комплексного переменного (фкп). Условия Коши-Римана
- •Вопросы для самопроверки по теме 2.2
- •2.3. Элементарные функции и конформные отображения
- •2.4. Представление регулярных функций интегралами
- •2.5. Представление регулярных функций рядами
- •2.6. Вычеты функций и их применение
- •Раздел 3. Дискретная математика
- •3.1. Элементы теории графов
- •3.2. Формальные языки и дискретные автоматы
- •Ответ: 101001 110100. Табл.(**)
- •3.3. Элементы алгебры логики
- •Вопросы для самопроверки по теме 3.3
- •3.4. Учебное пособие
- •Раздел 4. Блок контроля освоения дисциплины
- •4.1. Методические указания к выполнению контрольных работ Контрольные работы №1 и №2
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Контрольная работа №1 Задание 1
- •1. Цель работы
- •2. Основные теоретические положения
- •Задание 2
- •1. Цель работы
- •Задание 3
- •2.6. Метод Симпсона
- •Задание 4
- •Контрольная работа №2 Задание 5
- •Задание 6
- •Задание 7
- •Вычет в полюсе порядка m вычисляется по формуле
- •По теореме Коши о вычетах интеграл будет равен
- •Задание 8
- •Первая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции
- •3. Порядок выполнения работы
- •2.1. Отделение корней Графический метод отделения корней
- •Решение.
- •Аналитический метод отделения корней
- •Другие методы отделения корней
- •Метод касательных (Ньютона)
- •3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа 3
- •Решение.
- •3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа 4
- •1. Цель работы
- •2. Основные теоретические положения
- •2.1. Метод прямоугольников
- •2.2. Метод трапеций
- •2.3. Метод парабол (Симпсона)
- •3. Порядок выполнения работы
- •3. Порядок выполнения работы
- •4.3. Блок текущего контроля
- •4.3.1. Репетиционный тест по разделу 1
- •4.3.2. Репетиционный тест по разделу 2
- •4.3.3. Репетиционный тест по разделу 3
- •Ответы:
- •2. Изобразить в виде графа структуру заданного языка и построить совокупность слов, порождаемых грамматикой данного языка: Алфавит . Правила грамматики:.
- •4. Построить сднф, сокращённую и минимальную днф булевой функции, заданной таблицей. Изобразить контактные схемы для исходной, сокращённой и минимальной днф.
- •4.5. Блок итогового контроля
- •4.5.1. Вопросы к зачёту
- •Глоссарий (краткий словарь основных терминов и положений)
- •Содержание
- •Раздел 1. Численные методы ………………………………… 15
Контрольная работа №1 Задание 1
Интерполяция функций с равноотстоящими узлами.
1. Цель работы
Построение функциональной зависимости по экспериментальным данным.
2. Основные теоретические положения
2.1. Приближение функций одной переменной
Одной из наиболее важных проблем численного анализа является проблема приближенного описания неизвестной функциональной зависимости по известным ее значениям в некоторых точках, называемых узловыми.
Постановка задачи интерполяции
Задача интерполирования может быть сформулирована следующим образом.
Пусть на отрезке [a, b] заданы n + 1 точки х0, x1, … , xn, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой интерполируемой функции f (x) в этих точках, т. е.
y0 = f (x0); y1 = f (x1); … ; yn = f (xn).
Требуется построить интерполирующую зависимость F(x), которая в узлах интерполяции принимает те же значения, что и интерполируемая функция f (x), т.е.
F(x0) = f (x0) = y0 ,
. . . . . . . . . . . . .
F(xn) = f (xn) = yn.
Графически задача интерполирования заключается в том, чтобы построить такую интерполирующую функцию, которая бы проходила через все узлы интерполяции.
Чаще всего в качестве интерполирующей функции F(x) используются многочлены . Задача состоит в том, чтобы подобрать многочлен,обеспечивающий требуемую точность интерполяции e, т.е. удовлетворяющий условию
. (1)
Наиболее успешно для интерполяции используется многочлен Ньютона, в записи которого в случае интерполяции функции с равноотстоящими узлами используются конечные разности.
2.3. Конечные разности
Пусть для значений , гдеh – шаг интерполяции, известны значения функции
Определение: Конечной разностью первого порядка называется разность
(2)
Аналогично определяются конечные разности второго и более высокого порядка
(3)
Конечные разности при вычислении удобно записать в табл.1.
Таблица 1
-
i
xi
yi
yi
2yi
3yi
4 yi
0
x0
y0
y0
2y0
3y0
4y0
1
x1
y1
y1
2y1
3y1
2
x2
y2
y2
2y2
3
x3
y3
y3
4
x4
y4
Отметим, что число (порядок) конечных разностей всегда на единицу меньше числа узлов.
2.4. Интерполяционный полином Ньютона
Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов записывается в виде
(4)
или
. (5)
Можно показать, что оценка погрешности Rn(x) при замене f(x) полиномом Pn(x) имеет вид:
Rn(x)=. (6)
2.5. Решение задачи
Пример 1.
Закон движения некоторого объекта y = f(x) представлен в табл. 2 (x – время, y –путь).
Таблица 2
-
x
0
1
2
3
4
5
6
y
0
2
10
30
46
130
222
Требуется найти пройденный объектом путь к моменту x = 3,5.
○Для вычисления y = f(3,5) необходимо на основе табл.1 получить математическое описание функциональной зависимости y = f(x).
Если использовать критерий точного совпадения в узлах, то число определяемых параметров аппроксимирующей функции равно числу точек. При выборе такого критерия задача сводится к построению интерполяционных многочленов.
Заполним таблицу конечных разностей для экспериментальных данных, приведенных в табл.2. Вычисления удобно проводить с использованием табличного процессора Excel (табл.3).
Таблица 3.
Видим, что здесь шаг интерполяции h = 1. Степень полинома определяется числом (порядком) конечных разностей, т.е., по формуле (4) или (5) имеем:
.
Подставим наши данные и получим, что
Тогда путь , пройденный к моменту, составит величину
.●