6.4. Оптимизация управленческих задач

На практике часто приходится искать наилучшее (оптимальное) решение, например дающее предприятию максимальную прибыль или обеспечивающее минимальные затраты. На компьютере подобные задачи можно решать, используя имеющуюся в табличных процессорах программу Поиск решения.

Для работы с данной программой необходимо предварительно построить математическую модель задачи и определить ограничения решения.

6.4.1. Транспортная задача

Фирме необходимо организовать перевозку продукции с трех складов в пять магазинов. Сведения о наличии продукции на складах, о потребности в этой продукции у магазинов и о стоимости перевозки единицы продукции с каждого склада во все магазины приведены в табл. 8.

Таблица .8

Склады		Магазины
		М1	М2	М3	М4	М5
Номер склада	Запас	Стоимость перевозок
S1	15	1	0	3	4	2
S2	25	5	1	2	3	3
S3	20	4	8	1	4	3
		Потребности магазинов
		20	12	5	8	15

Считая, что можно везти продукцию с любого склада в любой магазин, следует так организовать перевозки, чтобы затраты были минимальными.

Решение задачи включает три этапа:

1. Построение математической модели.

2. Построение начального плана решения.

3. Оптимизация начального плана.

1. Построение математической модели

а). Ввод обозначений.

Обозначим:

Х_ij – количество продукции, отправляемой со склада i в магазин j:

C_ij – стоимость перевозки единицы продукции со склада i в магазин j.

б). Определение ограничений.

На переменные накладываются три ограничения:

Первое. Исходя из физического смысла задачи, количество и стоимость продукции не может быть отрицательной величиной, то есть

Х_ij  0; C_ij  0. (6.10)

Второе. Ограничения по предложению (со складов нельзя вывезти продукции больше, чем там имеется):

(6.11)

Третье. Ограничения по спросу (в магазины следует завезти не меньше продукции, чем им требуется):

(6.12)

в). Определение целевой функции

Общая стоимость перевозок (целевая функция) равна

(6.13)

Необходимо определить такие неотрицательные значения переменных Х, которые удовлетворяют условиям (6.10), (6.11) и (6.12) и обращают в минимум целевую функцию Z (6.13).

г). Проверка баланса.

Необходимым и достаточным условием разрешимости транспортной задачи является условие баланса

, (6.14)

где - суммарное количество продукции на складах

(при этом S_i= - количество продукции на одном складе,i=1, 2, 3);

- суммарное количество продукции, требуемое в магазинах

(при этом - количество продукции, которое требуетсяj-му магазину, j=1, 2, …,5)

.

В нашем случае

;

=60,

следовательно, задача с балансом.

Задание 6.11. Определите суммарные затраты на перевозки, если с каждого склада в каждый магазин перевозится одна единица продукции.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

2. Построение начального плана решения

Поскольку построение оптимального плана решения сразу невозможно, запланируем перевоз с каждого склада в каждый магазин одной единицы продукции.

Начальный план решения, реализованный в электронной таблице, приведен в табл. 9 (режим показа формул) и в табл. 10 (режим показа вычислений).

Таблица 9

Таблица 10

3. Оптимизация начального плана

Используем режим Поиск решения.

1) После выполнения команд Сервис, Поиск решения открывается диалоговое окно Поиск решения (для Excel оно представлено на рис.1, а для Calc на рис.2).

Рис. 1

Рис. 2

2) Ввести данные:

Установить целевую ячейку В17;

Равной  минимальному значению;

Изменяя ячейки C11:G13.

Для ввода ограничений щелкнуть по кнопке Добавить. Появится окно Добавление ограничений (рис.3). Ввести первое ограничение. Для этого заполнить поля:

Рис. 3

а) Ссылка на ячейку: C11:G13;

В среднем поле выбираем знак неравенства 

Ограничение: 0 , щелкнуть по кнопке Добавить.

б) В появившемся новом окне Добавление ограничений:

Ссылка на ячейку: C11:G13;

В среднем поле выбираем цел , щелкнуть по кнопке Добавить.

В программе Calc это ограничение не добавляется. На этом шаге его пропускаем.

Аналогично п.а) ввести следующие ограничения.

В11:В13  B5:В7;

С15:G15  C9:G9 .

После ввода каждого ограничения щелкнуть по кнопке Добавить, после ввода последнего – по кнопке ОК.

3) Для запуска режима Поиск решения щелкнуть по кнопке Выполнить (в программе Сalc – кнопка Решить). Появится окно Результаты поиска решения в Excel (а в программе OpenOffice.org Calc - окно Message Dialog). Щелкнуть по кнопке ОК. В результате улучшения плана получим оптимальный план (табл.11) стоимости перевозок с целевой функцией (стоимостью перевозок) Z=121.

Таблица 11

Рис. 3