Пример 1.2.1

Построим двойственную задачу по канонической форме задачи:

• найти план x₁, x₂, s₁, s₂ , который дает максимальную выручку

(1.1.10)

• при ограничениях

, (1.1.11)

, (1.1.12)

. (1.1.13)

Правило построения двойственной задачи состоит в следующем. Каждому равенству прямой задачи соответствует двойственная переменная. Стрелки в (1.1.11-1.1.12) показывают, что первому равенству соответствует переменная y₁, а второму – переменнаяy₂.

Для определения целевой функции W двойственные переменные y₁иy₂умножаются на правые части равенств (1.1.11), (1.1.12) и складываются:

W = 1000y₁+ 25y₂.

Каждой переменной прямой задачи x₁,x₂,s₁,s₂соответствует одно ограничение двойственной задачи. Левые части этих ограничений для переменнойx₁записываются следующим образом. Двойственные переменныеy₁иy₂умножаются на коэффициенты перед переменнойx₁в (1.1.11) и (1.1.12) и складываются: 5y₁+ 0,1y₂.

Аналогично, записываются левые части ограничений для переменной x₂. Двойственные переменныеy₁иy₂умножаются на коэффициенты перед переменнойx₂в (1.1.11) и (1.1.12) и складываются: 10y₁ + 0,3y₂.

Левая часть ограничений для переменной s₁ равна y₁ ,а для переменной s₂ – y₂

Правые части ограничений равны коэффициентам целевой функции Z перед переменными x₁, x₂, s₁ ,s₂. Левые и правые части ограничений соединяются знаком ≥.

В результате двойственная задача имеет вид:

• найти двойственные переменные y₁иy₂,при которых целевая функцияWминимальна

min W = 1000y₁+25y₂(1.2.9)

• при ограничениях ,(1.2.10)

, (1.2.11)

, (1.2.12)

. (1.2.13)

Переменные y₁, y₂, называются допустимым решением двойственной задачи, если они удовлетворяют всем ограничениям (1.2.10)-(1.2.13).

Переменные y₁, y₂ называются оптимальными, если они допустимые и на них целевая функция W достигает минимума.

Экономически:

• двойственная переменная y₁определяет теневую цену 1 кг сырья;

• двойственная переменная y₂определяет теневую цену 1 часа работы оборудования. Тогда

• целевая функция W = 1000y₁+ 25y₂задает стоимость запасов сырья и времени работы оборудования в теневых ценах.

Выражение z₁ = 5 y₁+0,1 y₂ определяет стоимость 5 кг сырья и 0,1 часа времени, затраченных на изготовление единицы продукции 1 в теневых ценах, а выражение z₂ = 10y₁+ 0,3y₂ определяет стоимость 10 кг сырья и 0,3 часа времени, затраченных на изготовление единицы продукции 2 в теневых ценах.

Для определения прибыльности производства продукции сравним стоимость ресурсов (в теневых ценах ресурсов), на него затраченных, с выручкой от продажи продукции. Для этого определим приведенные стоимости производства каждого вида продукции

, (1.2.14)

. (1.2.15)

Если величина Δ _j положительна, то стоимость ресурсов больше рыночной цены этого продукта. В этом случае производство продукта убыточно и выгоднее продать ресурсы по рыночным ценам. Если величина Δ _j отрицательна, то стоимость ресурсов меньше рыночной цены этого продукта. В этом случае производство прибыльно и выгоднее производить продукцию. Если величина Δ _j равны 0, то стоимость ресурсов равна рыночной цене. В этом случае одинаково выгодно продать ресурсы и производить продукцию.

Ограничения двойственной задачи:

, (1.2.10)

(1.2.11)

можно теперь записать:

Δ₁≥ 0, (1.2.16)

Δ₂≥ 0. (1.2.17)

Из последних неравенств следует, что на допустимых теневых ценах производство обоих продуктов неприбыльно. Величины Δ_jпоказывают величину изменения выручки при выпуске единицы этой продукции.

Можно дать следующую экономическую интерпретацию двойственной задачи. Некоторая фирма предлагает производителю продукции продать ей все запасы ресурсов по теневым ценам y₁,y₂. Неравенства (1.2.16) и (1.2.17) означают, что в предлагаемых теневых ценах производство обоих видов продукции неприбыльно. При этом (1.2.9) означает, что стоимость приобретаемых ресурсов должна быть минимальна. Таким образом, решение двойственной задачи определяет минимальный уровень рыночных ценy₁,y₂, при котором производить продукцию неприбыльно.

Вопросы для самопроверки

1. Как определяется число переменных в двойственной задаче?

8. Как определяется число ограничений в двойственной задаче?

9. В чем состоит экономический смысл двойственных переменных в задаче распределения ресурсов?

10. В чем состоит экономический смысл целевой функции в задаче распределения ресурсов?

11. В чем состоит экономический смысл двойственных ограничений в задаче распределения ресурсов?