Пример 1.1.1

Для производства двух видов продукции фирма использует два вида ресурсов: ресурс1 – сырье, ресурс2 – время изготовления продукции на оборудовании. Запасы ресурсов ограничены: в день может быть использовано не более 1000 кг сырья и суммарное время работы оборудования не превосходит 25 часов. Нормы затрат каждого ресурса на единицу каждого продукта и рыночные цены заданы в табл. 1.1.1

Таблица 1.1.1

Ресурс	Нормы затрат на ед. продукции		Запас ресурса
	Продукт1	Продукт2
Сырье	a11 =5	a12 =10	b1=1000
Время изготовления	a21 =0,1	a22 =0,3	b2=25
Цена за ед. продукции	c1=40	c2 =100

Требуется найти план выпуска продукции, который обеспечивает максимальную стоимость реализации (выручку).

Обозначим:

x₁– план выпуска продукции 1,

x₂– план выпуска продукции 2.

Тогда затраты сырья и времени изготовления, необходимые для производства плана x₁,x₂, будут равны соответственно:

,

.

План X = {x₁,x₂} будет допустимым, если затраты каждого ресурса не превосходят их запасов, т. е. выполняются неравенства:

, .

Целевой функцией для данного примера служит общая стоимость реализации плана (выручка) x₁,x₂:.

Таким образом, математически рассматриваемая задача является задачей линейного программирования в стандартной форме:

• найти план выпуска продукции x₁, x₂, который обеспечивают максимальную выручку

(1.1.4)

• при ограничениях:

, (1.1.5)

, (1.1.6)

. (1.1.7)

Каноническая форма. Найти переменныеx₁,x₂,…,x_n, которые дают экстремум (максимум или минимум) целевой функции

(1.1.1)

при ограничениях:

, i = 1, 2,…,m, (1.1.8)

, j = 1, 2,…,n. (1.1.3)

Предполагается, что правые части ограничений b_iнеотрицательны.

Можно показать, что любую задачу линейного программирования можно привести к каноническому виду.

Задача распределения ресурсов может быть приведена к каноническому виду введением в каждое ограничение iдополнительной переменнойs_i, которая означаетостаток от производства ресурса i(количество неиспользуемого ресурса). Тогда задача распределения ресурсов состоит в определении значений переменныхx_j,s_i, которые максимизируют функцию

(1.1.1)

при ограничениях:

, i = 1, 2,…,m, (1.1.9)

, j = 1, 2,…,n. (1.1.3)

Пример 1.1.2

Приведем задачу (1.1.4)-(1.1.7) к канонической форме. Для этого введем две дополнительные переменные:

s₁ – остаток от производства ресурса1 (остаток сырья)

s₂ – остаток от производства ресурса2 (остаток времени изготовления)

Тогда получим каноническую форму задачи:

• найти план x₁, x₂, s₁, s₂ , который дает максимальную выручку

(1.1.10)

• при ограничениях:

, (1.1.11)

, (1.1.12)

(1.1.13)

Пример 1.1.3

Пусть x₁ = 10 – план выпуска продукции 1,x₂= 100 – план выпуска продукции 2.

Проверим допустимость плана для задачи (1.1.4)-(1.1.7).

Найдем затраты на производство обоих ресурсов. Для выполнения этого плана потребуется:

= 5∙10 + 10∙100 = 1050 кг сырья и

= 0,1∙10 + 0,3∙100 = 31 час работы оборудования.

Такой план выпуска недопустим, т.к. для его выполнения недостаточно ресурсов.

Вопросы для самопроверки

1. Какой план является допустимым в задаче линейного программирования?

5. Какой план является недопустимым в задаче линейного программмиро-вания?

6. Какой план является оптимальным в задаче линейного программиро-вания?

7. Чем отличаются стандартная и каноническая формы задачи линейного программирования?