3.2. Матричные игры. Основные понятия

Изучаемые вопросы:

• Матричные игры;

• Чистые стратегии;

• Ситуация равновесия.

Конфликтными называются ситуации, в которых сталкиваются интересы нескольких сторон, преследующих различные цели. Реальные конфликтные ситуации очень сложны для полного математического анализа. Чтобы сделать возможным математический анализ конфликта, строят его математическую модель, называемую игрой. Теория игр является математической теорией конфликтных ситуаций. В игре стороны конфликта называют игроками. Если в игре участвуют два игрока, тоигру называют игрой двух лиц. Если в игре участвуют более двух игроков, то игру называют игрой нескольких лиц. В теории игр предполагается, что ее участники разумные противники и не следует рассчитывать на свое умственное превосходство над ними. Поэтому в теории игр следует искать осторожное «перестраховочное» поведение игроков.

Рассмотрим игру двух лиц, интересы которых противоположны. Такие игры называют антагонистическими играмидвух лиц. В этом случае выигрыш одного игрока равен проигрышу другого, и можно описать выигрыш только одного из игроков. Выигрыш зависит от действий обоих игроков. Предполагается, что каждый игрок может выбрать только одно из конечного множества своих действий. Выбор действия называютвыбором стратегииигрока. Если каждый из игроков выбрал свою стратегию, то эту пару стратегий называютситуацией игры. Следует заметить, каждый игрок знает, какую стратегию выбрал его противник, т.е. имеетполную информациюо результате выбора противника.

Допустим, что игрок Iимеет множество своих стратегий, которые можно перенумеровать числами 1, 2,…,n. ИгрокIIимеет множество своих стратегий, которые можно перенумеровать числами 1, 2,…,m.Если игрок Iвыбирает из множества своих стратегий стратегию с номеромi, а игрокIIвыбирает стратегию с номеромj, то в возникшей ситуации (i,j) игрокIполучает выигрыш равныйa_ij(игрок II в этой ситуации получает выигрыш равный -a_ij). В этом случае все возможные выигрыши игрока I можно записать в виде матрицы

Чистой стратегией игрокаI является выбор одной изnстрочек матрицы выигрышейA, ачистой стратегией игрока IIявляется выбор одного из столбцов этой же матрицы. Если игрок I выбирает строку номеромi, а игрок II выбирает столбец с номеромj, то в возникшейситуации (i,j)выигрыш игрока Iравен элементуa_ij(игрок II в этой ситуации получает выигрыш равныйa_ij).Такие игры называютматричными антагонистическими играми двух лиц с нулевой суммой. Считаем, чтоигрок Iвыбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, аигрок IIвыбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрокаI. В дальнейшем для удобства элементы матрицыa_ijбудем обозначатьa(i,j).

Решить матричную игру в чистых стратегиях означает найти такую ситуацию (i*,j*), в которой выигрыш игрокаIудовлетворяет неравенствам:

a(i,j*) ≤a(i*,j*) ≤a(i*,j) (3.2.1)

для всех чистых стратегий i, j обоих игроков. Ситуация (i*,j*) называется ситуацией равновесия или седловой точкой матричной игры в чистых стратегиях. Стратегия i* игрока I состоит в выборе строки с номером i* и называется его оптимальной чистой стратегией игрока I, а стратегия j* игрока II состоит в выборе столбца с номером j* и называется его чистой оптимальной стратегией игрока II. Число a(i*,j*) является выигрышем игрока I и называется значением или ценой игры и обозначается v(A).

Левая часть неравенства означает:

если игрок I отклоняется от своей оптимальной стратегии, а игрок II придерживается своей оптимальной стратегии, то выигрыш игрока I разве что уменьшится.

Аналогично правая часть неравенства означает:

если игрок II отклоняется от своей оптимальной стратегии, а игрока I придерживается своей оптимальной стратегии, то выигрыш игрока I разве что увеличится, т.е. выигрыш игрока II разве что уменьшится.

Таким образом, оба игрока гарантируют себе выигрыш, равный a(i*,j*), если будет придерживаться своих оптимальных стратегий. Из неравенства следует, что элементa(i*,j*) должен быть одновременно минимальным в строке и максимальным в столбце:

v(A)=(max)i (min)j a(i,j) = (min)j (max)i a(i,j) (3.2.2)

В матричной игре может не существовать ситуации равновесия в чистых стратегиях, т.е. не выполняется равенство (3.2.2). Рассмотрим примеры.