2.7.2. Кинетическая энергия твердого тела

Используя общую формулу (2.7.2) и (2.7.3) можно получить выражения для кинетической энергии твердого тела при различных случаях его движения.

А) Поступательное движение.

При поступательном движении твердого тела скорости всех его точек, в том числе и скорость его центра масс, одинаковы, поэтому:

;,.

Тогда кинетическая энергия тела будет равна:

. (2.7.4)

Кинетическая энергия тела вычисляется как для точки (центра масс тела), в которой условно сосредоточена вся масса тела.

Б) Вращение вокруг неподвижной оси.

В этом случае модуль скорости любой точки тела будет равен (см. тему 1.3), а кинетическая энергия тела выразится как:

, (2.7.5)

где - момент инерции тела относительно оси вращения(см. тему 2.6 формула (2.6.9)).

Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвиж-ной оси, равна половине произведения его осевого момента инерции на квадрат угловой скорости.

В) Плоское движение. Из кинематики (см. тему 1.4) известно, что плоское движение можно рассматривать как сложное, состоящее из поступательного движения вместе с полюсом (за который мы здесь выбираем центр масс тела) и вращательного движения вокруг оси, проходящей через полюс (центр масс). Тогда на основании теоремы Кенига можно написать:

. (2.7.6)

Кинетическая энергия твердого тела, совершающего плоское движение, равна арифметической сумме кинетической энергии поступательного движения тела вместе с центром масс и кинетической энергии его вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс.

2.7.3. Работа и мощность силы

Работой силы называется мера действия силы на некотором перемещении точки её приложения.

Пусть точка под действием приложенной к ней силыдвижется по некоторой криволинейной траектории, (рис. 2.7.2). Тогдаэлементарная работа силы может быть представлена следующей скалярной величиной:, (2.7.7)

где - модуль дифференциала дуговой координаты,модуль вектора силы.

В общем случае работа как функция координат может не являться полным дифференциалом, поэтому работу силы на конечном перемещении определяем как интегральную сумму элементарных работ. Формулу (2.7.7) можно представить в виде скалярного произведения

, (2.7.8)

где- элементарное перемещение точкиза время, направленное так же, как и вектор скорости точки. При этоми, следовательно,.

Далее, обозначая проекции силы на оси координаткак, а проекции элементарного перемещениякак, можно записать выражение для элементарной работы в следующем виде

. (2.7.9)

Работа силы на конечном перемещении точки между положениями на траекториииопределяется как интегральная сумма элементарных работ, то есть как криволинейный интеграл от элементарной работы, взятый по дугетраектории:. (2.7.10)

Допустим, что на точку действует система сил . Тогда элементарная работа равнодействующейв соответствии с (2.7.8) будет равна=, (2.7.11)

где - элементарная работа составляющей силы.

Интегрируя обе части равенства (2.7.11) по дуге , получим:

, (2.7.12)

то есть работа равнодействующей системы сил, приложенных к данной точке, равна алгебраической сумме работ составляющих сил.

Мощностью силыназывается величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени.Эта величина определяется следующим образом

. (2.7.13)