2.4.2. Масса системы. Центр масс системы

Пусть механическая система состоит изn материальных точек (рис. 2.4.2). Центром масс механической системы(ЦМ) называется геометрическая точка, положение которой в пространстве определяется радиус-вектором, произведение которого на массу всей системы равно сумме произведений массы каждой точки на её радиус-вектор:

, (2.4.4)

где - радиус-вектор некоторой-й точки системы относительно системы координат;

- масса системы, определяемая как сумма масс всех ее точек;

- радиус-вектор центра масс.

Координаты этой точки будут соответственно равны

. (2.4.5)

Поскольку массы точек пропорциональны их весам, то формулы (2.4.5) можно записать в виде . (2.4.6)

Здесь - вес-й точки системы;

- вес системы, равный сумме весов всех точек.

Формулы (2.4.6) определяют координаты центра тяжести (ЦТ) твердого тела. Следовательно, центр масс системы и центр тяжести тела совпадают, что не означает, однако, тождественности этих понятий. Понятие центра тяжести имеет смысл лишь для твердого тела, или какой-либо другой неизменяемой механической системы, находящейся в однородном поле сил тяжести; в то время как понятие центра масс справедливо для любой механической системы и не связано с действующими на нее силами. Центр тяжести не существует в невесомости, тогда как центр масс существует.

Вопросы для самопроверки по теме 2.4

1. Дайте определение механической системы. Приведите примеры механических систем.

2. На какие две группы можно разделить силы, действующие на точки системы?

3. Чему равен главный вектор и главный момент внутренних сил механической системы?

4. Дайте определение центра масс системы. В каких случаях можно заменить понятие центра масс понятием центра тяжести?

5. Напишите формулы, определяющие центр масс системы.

2.5. Теоремы о движении центра масс и об изменении количества движения механической системы

При изучении темы предстоит усвоить и научиться применять при решении задач следующие понятия, теоремы и следствия из этих теорем: 1. теорема о движении центра масс системы 2. Если тоилипервое следствие из теоремы о движении центра масс системы, 3. Если тоиливторое следствие из теоремы о движении центра масс системы 4. количество движения материальной точки 5. количество движения механической системы 6. количество движения механической системы, выраженное через её массу и скорость центра масс 7. элементарный и конечный импульс силы 8. теорема об изменении количества движения системы в дифференциальной форме 9. теорема об изменении количества движения системы в интегральной форме 10. Если топервое следствие из теоремы об изменении количества движения системы 11. Если товторое следствие из теоремы об изменении количества движения системы

2.5.1.Теорема о движении центра масс системы

Центр масс механической системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и приложен главный вектор внеш-них сил.

Доказательство. Пусть имеется механическая система, состоящая измате-риальных точек и движущаяся под действием внешних и внутренних сил отно-сительно инерциальной системы отсчета (рис. 2.4.2). Движение этой системы описывается системой уравнений (2.4.2). Напишем геометрическую сумму пра-вых и левых частей уравнений (2.4.2) движения всех точек системы и назовём её уравнением динамики механической системы:

. (2.5.1)

Так как второе слагаемое - главный вектор внутренних сил равен нулю, и ускорение точки есть вторая производная по времени от её радиус- вектора, то уравнение (2.5.1) запишется:

. (2.5.2)

Поскольку масса каждой точки постоянна, то, используя свойство дифференцирования суммы, равенство (2.5.2) запишется

, где.

Окончательно получаем: . (2.5.3)

Теорема доказана.

Проектируя обе части уравнения (2.5.3) на оси координат , имеем

. (2.5.4)

Из доказанной теоремы вытекают следующие следствия:

1. Пусть ; тогда согласно (2.4.9)и.

Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то центр масс системы либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно.

2. Пусть ; тогдаи.

Если сумма проекций внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция скорости центра масс на эту ось сохраняется неизменной.

Из теоремы также следует, что на движение центра масс системы внутренние силы непосредственно не влияют.

Уравнения (2.5.4) являются также и дифференциальными уравнениями поступательного движения твёрдого тела.