1.2.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Вращением вокруг неподвижной осиназывается такое движение твердого тела, при котором какие-нибудь две фиксированные его точки остаются неподвижными. Прямая, проходящая через эти две точки, называется осью вращения тела (рис. 1.2.2).

Проведем через ось две полуплоскости: неподвижнуюи подвижную, неизменно связанную с вращающимся телом. Уголмежду этими полуплоскостями называетсяуглом поворота тела. Будем считать его положительным, если с положительного конца осивидим поворот от полуплоскостидо полуплоскостипротив хода часовой стрелки и отрицательным – по ходу часовой стрелки.

Положение твердого тела с неподвижной осью вполне определяется углом поворота . При вращении тела уголизменяется, являясь функцией времени:. (1.2.5)

Эта зависимость называется уравнением (или законом) вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Угол измеряется врадианах.

Если угол поворота выражается числом полных оборотов , то уголв радианах равен. (1.2.6)

Угловая скорость(или частота вращения) вращающегося вокруг неподвижной оси твердого тела характеризует быстроту и направление вращения тела в данный момент времени.

Угловая скорость обозначается буквой и равна первой производной по времени от угла поворота тела. (1.2.7)

Знак угловой скорости указывает направление вращения тела: если тело вращается в направлении против хода часовой стрелки (наблюдая с положительного конца оси ) – то значениеположительно, если по ходу часовой стрелки –отрицательно.

Размерность угловой скорости будет: .Угловое ускорениевращающегося твердого тела характеризует быстро-ту изменения угловой скорости тела в данный момент времени.

Угловое ускорение обозначается буквой и равно первой производной по времени от угловой скорости, либо второй производной по времени от угла поворота. (1.2.8)

Если знаки иодинаковы, то тело вращается ускоренно, если они противоположные – то замедленно.

Размерность углового ускорения тела .

Частные случаи равномерного и равнопеременного вращенийтвердого тела вокруг неподвижной оси изучаются самостоятельно (см. [1], с. 121,122).

1.2.3. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

При вращении тела вокруг неподвижной оси все его точки описывают окружности, плоскости которых перпендикулярны этой оси, а центры лежат на ней. Рассмотрим точкутела (рис. 1.2.2), лежащую в полуплоскостии находящуюся от оси вращенияна расстоянии; ее траектория – окружность радиусас центром(рис. 1.2.3).

Применим естественный способ задания движения точки. За начало отсчета дуговой координатывыберем точку, лежащую в неподвижной полуплоскости. Положительное направление отсчетасоответствует положительному направлению отсчета угла поворота .

Положение точки в дан-ный момент времениопределяет-ся соотношением , где значениевыражено в радианах.

Итак, уравнение движения точки по траектории имеет вид:. (1.2.9)

Скорость точки М получается путем дифференцирования (1.2.9) по времени

. (1.2.10)

Вектор скорости направлен в сторону вращения тела по касательной к окружности и, следовательно,перпендикулярен к радиусу описываемой окружности (рис.1.2.3).

Модуль скорости точки равен

. (1.2.11)

Для любого момента времени скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстоянию до оси вращения.

Эпюра векторов скоростей точек, лежащих на радиусе представлена на рис. 1.2.3.

Проекция ускорения точки на касательную в соответствии с (1.1.27)

. (1.2.12)

Модуль касательного ускорения равен:

. (1.2.13)

Величина нормального ускорения точки равна ; но

, следовательно, имеем: . (1.2.14)

Взаимное расположение векторов ипоказано на рис. 1.2.4.

Касательное ускорение точкинаправлено по касательной в сторону вращения тела (рис. 1.2.4,а), если вращениеускоренное, и в сторону, противоположную вращению тела, (рис. 1.2.4,б), если вращениезамедленное.

Нормальное ускорениеточкивсегда направлено от точкик оси вращения тела (к центруописываемой точкой окружности).

Модули ускорений ипропорциональны расстояниям точек вращающегося тела до оси вращения.

Полное ускорение точки равно , а его модуль равен:

. (1.2.15)

Направление вектора полного ускорения точки определяется углом, образуемым векторомс радиусом. Из рисунка 1.2.4 видно, что:. (1.2.16)

В частном случае равномерного вращениятела имеем:

,.

И, следовательно, полное ускорение равно нормальному ускорению.