1.1.2. Скорость точки

Скорость точки– векторная величина, характеризующая быстроту изменения положения точки . Пусть движение точкиотносительно неподвижной системы отсчетазадано уравнением. В момент времениточка занимает положение(рис. 1.1.5) , определяемое радиус-вектором, а в момент– положение, определяемое радиус-вектором.Вектор представляет собой приращение радиус-вектора за время и называется вектором перемещения точки за время : . Векторная величина называется средней скоростью точки за время . Поскольку – положительная скалярная величина, то вектор направлен по хорде в сторону движения точки (рис. 1.1.5).

Скоростью точки в данный момент времениназывается векторная величина, равная пределу, к которому стремитсяпри:

. (1.1.8)

(В механике производная от функции по времени обозначается точкой над функцией).

При положение точки неограниченно приближается к положению , а линия действия стремится к положению касательной к траектории в точке (рис.1.1.5).

Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиус-вектора точки по времени и направлен по касательной к траектории в сторону ее движения.

Дифференцируем по времени выражение (1.1.7)

. (1.1.9)

Так как система отсчета принята за неподвижную, орты ее осейпостоянны по модулю и направлению и поэтому:

, (1.1.10)

где (1.1.11)

проекции скорости точки на неподвижные декартовые оси .

Проекции скорости точки на неподвижные декартовые оси равны

первым производным по времени от соответствующих координат точки.

Модуль вектора скорости точки равен

. (1.1.12)

Направление вектора скорости находится по направляющим косинусам:

(1.1.13)

Скорость точки при естественном способе задания движения

Пусть заданы (рис. 1.1.5) траектория точки и закон движения точки по траектории и пусть в момент времениtточка занимала на траектории положениеМ,а в момент времениt₁– положениеМ_1. Тогда приращениедуговой координаты за промежуток временибудет равно. Средняя скорость движения точки по траектории на участкеопределится как отношение:. Очевидно, что приращение естественной (дуговой) координатыможет принимать как положительные так и отрицательные значения. Следовательно, скорость движения точки по траектории – величина алгебраическая.

Алгебраическое значение скорости точки в данный момент времени tравно пределу к которому стремитсяпри:

(1.1.14)

Итак, алгебраическое значение скорости точки в данный момент време-ни равно первой производной по времени от её естественной координаты.

Поскольку вектор скорости точки направлен по касательной к траектории, то его проекция на эту касательную представляет собой алгебраическое значение скорости. В силу сказанного равенство (1.1.14) примет вид

, (1.1.15)

где индекс указывает на то, что это проекция скорости точки на каса-тельную к её траектории.

Сравним скорость точки при векторном и естественном способах задания её движения. Поскольку , то- сложная функция времени. Поэтому, (1.1.16)

где -единичный вектор (или орт) касательной.

Тогда выражение (1.1.16) примет вид . (1. 1.17)

Модуль вектора скорости можно представить в виде

. (1.1.18)