Раздел 1. Кинематика

1.1. Кинематика точки

В ходе изучения темы Вам предстоит усвоить следующие геометрические и кинематические характеристики движения точки: 1.- уравнение движения точки при векторном способе задания её движения;- радиус-вектор положения точки в пространстве 2. - уравнение движения точки при координатном способе задания движения;- декартовы координаты точки 3. -уравнение движения точки при естественном способе задания движения;- дуговая координата точки на её траектории 4. - это соотношение устанавливает связь векторного и координатного способов задания движения точки;- орты осейдекартовой системы отсчёта 5. - скорость точки при векторном способе задания её движения 6. ,- проекции скорости точки на осипри координатном способе задания движения 7. - модуль вектора скорости точки 8. - ускорение точки при векторном способе задания её движения 9. - проекции ускорения точки на осипри координатном способе задания её движения 10. - модуль вектора ускорения точки 11. - скорость точки при естественном способе задания её движения, представляющая проекцию скоростина касательную к траектории 12. - орт касательной к траектории точки 13. -связь вектора и алгебраического значения скорости точки 14. - касательное ускорение точки

15. - центростремительное (нормальное) ускорение точки;- радиус кривизны траектории точки 16. - модуль полного ускорения точки, движущейся по криволинейной траектории. Следует научиться применять указанные формулы при решении задач по кинематике точки

Кинематика– раздел теоретической механики, в котором механическое движение материальных тел изучается с геометрической и временной точки зрения и связь между движением тел и силами не рассматривается.

Кинематика является введением в динамику. Но она имеет и самостоя-тельное значение как теоретическая основа кинематического исследования механизмов и машин. В курсе теоретической механики изучаются кинематика точки и кинематика абсолютно твердого тела.

1.1.1. Способы задания движения точки

Основной задачей кинематики точкиявляется определение кинемати-ческих характеристик ее движения: траектории, т. е. линии, описываемой точ-кой в пространстве, скорости и ускорения. Но для этого необходимо задать дви-жение точки, то есть уметь определять ее положение относительно выбраннойсистемы отсчетав любой момент времени. Существуют три способа задания движения точки:векторный, координатный и естественный.

При векторном способе положение и движение точки в пространстве определяют радиус-вектором, соединяющего движущуюся точку(рис. 1.1.1) с неподвижным центром О. При движе-нии точки радиус-векторв общем случае изме-няется по модулю и направлению, т. е. является векторной функцией времени

. (1.1.1)

Уравнение (1.1.1) называется уравнением(или законом)движения точки в векторной форме.Геометрическое место точек концов радиус-вектораназываетсятраекториейдвижения илигодографом радиус-вектора точкиМ.

При координатном способес точкой отсчёта связывают, обычно, прямоугольные координатные осиx,y,z. Положение точкив пространстве определяют по её проекциям на эти оси. На рисунке 1.1.2 в некоторый момент времениt изображено положение движущейся точкиМи её проекции M_x, M_y, M_z на координатные оси. ОтрезкиOM_x , OM_y , OM_z – координаты точки, то есть OM_x= x, OM_y=y,OM_z= z.

При движении точки ее координаты – непрерывные функции времени:

. (1.1.2)

Если точка движется в одной плоскости, например в плоскости , то будем иметь два уравнения движения: . (1.1.3)

Прямолинейное движение точки определяется одним уравнением:

. (1.1.4)

Уравнения (1.1.2), (1.1.3), можно рассматривать как параметрические уравнения траектории(параметр – время). Чтобы получить уравнение траектории точки в виде зависимости между её координатами, нужно исключить из уравнений движения (1.1.2), (1.1.3) параметр.

Уравнения(1.1.2), (1.1.3), (1.1.4) вполне определяют положение точки в любой момент и поэтому называютсяуравнениями движения точки в декартовых координатах.

Естественный способ. Этот способ применим в тех случаях, когда траекто-рия и закон движения по ней точкиза-ранее известны.Траектория рассматри-вается как криволинейная координатная ось.Положение точки на траектории определяется дуговой (криволинейной) координатой , отсчитываемой от неко-торой неподвижной точки , выбран-ной за начало отсчета (рис.1.1.3).

Положительное направление отсчета координаты устанавливают как на обычной, т. е. прямолинейной, координатной оси, или ортом, называемым ортом касательной. При движении точки ее дуговая координата есть функция времени:

. (1.1.5)

Зависимость (1.1.5) называется уравнениемилизаконом движения точки по траектории.Не следует отождествлять дуговую координатуспутем, пройденным точкой по траектории. Пройденный путь - величина арифметиче-ская, т.е. существенно положительная: при движении точки путь непрерывно возрастает, естественная или дуговая координата – величина алгебраическая. На рисунке 1.1.3 путь, пройденный точкой при её движении из точкиО в положение М₁ и затем изМ₁ вМ₂ равен:

тогда как естественная координата точки М в положении : .

На рисунке 1.1.4 изображены все три способа задания движения точки. Радиус-векторточкиМ разложен по осям координат на составляющие:

. (1.1.6)

Поскольку: ,и, то используя ортыосей координат, равенство (1.1.6) примет вид

. (1.1.7)

Соотношение (1.1.7) выражает связь между векторным и координатным способами задания движения точки. Положение точки М определяется также дуговой координатой , поэтому .