Примеры выполнения заданий

Задача 1

Предприятие предполагает выпустить 2 вида продукции А₁ и А₂, для производства которых используется сырьё трёх видов. Производство обеспечено сырьём каждого вида в количествах b₁, b₂, b₃ кг. На изготовление единицы изделия А₁ требуется затратить сырья каждого вида а₁₁= 4, а₂₁ = 6, а₃₁= 2, а для единицы изделия А₂ - а₁₂= 1, а₂₂ = 5, а₃₂ = 6. Прибыль от реализации единицы изделия А₁ составляет с₁ = 16 ден. ед., от реализации единицы изделия А₁ – с₂ = 22 ден. ед.

Вид сырья	Продукция		Запас сырья bi	Изменение запасов
	А1	А2
В1	4	1	400	-60
В2	6	5	745	130
В3	2	6	660	260
Прибыль	16	22

Требуется составить план производства изделий А₁ и А₂, обеспечивающий максимальную прибыль предприятия от реализации готовой продукции.

Необходимо:

1. решить исходную задачу геометрически;

2. решить задачу симплекс-методом;

3. . сформулировать двойственную задачу и найти её решение

Решение

Обозначим через х₁, х₂ число единиц продукции А₁ и А₂ соответственно, запланированных к производству. Связь между потреблением сырья и его запасами выразится системой неравенств:

4х₁ +х₂ ≤ 400

6х₁ + 5х₂ ≤ 745

2х₁ + 6х₂ ≤ 660, где х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0.

Прибыль предприятия от реализации готовой продукции составит

f = 16х₁+ 22х₂ (ден.ед.)

1) Решение графическим методом

Найдём множество решений каждого неравенства системы ограничений

4х₁ +х₂ ≤ 400

6х₁ + 5х₂ ≤ 745

2х₁ + 6х₂ ≤ 660, где х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0

Ограничения х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0 означают, что область решений системы будет лежать в первой четверти декартовой системы координат х₁Ох₂

Решение каждого неравенства состоит из решения уравнения и строгого неравенства. Решением уравнения служат точки прямой. Построим прямые по двум точкам.

х1	0	100
x2	400	0

l₁: 4х₁ + х₂ = 400

х1	0	124,2
x2	149	0

l₂: 6х₁ + 5х₂ = 745

х1	0	330
x2	110	0

l₃: 2х₁ + 6х₂ = 660

Множество решений строгого неравенства – одна из полуплоскостей, на которые делит плоскость построенная прямая. Какая из них является искомой, выясним при помощи контрольной точки (0; 0) и отметим их штриховкой (рис.1)

х₂

400

С

D

В

0 125 330 х₁

А

Рис.1

Областью допустимых решений является заштрихованный многоугольник OABCD.

Построим вектор N={16; 22} функции f = 16х₁+ 22х₂. Проведём прямую, перпендикулярную этому вектору (линию уровня функции f) через начало координат. Для определения максимума линию уровня перемещаем параллельно себе (вдоль области допустимых решений) в направлении вектора N до опорного положения. В вершине С линия уровня опорная, тогда функция f принимает максимальное значение в этой угловой точке.

Найдём координаты точки С, решив систему уравнений:

6х₁ + 5х₂ = 745

х₁ + 3х₂ = 330

х₁= 330 - 3х₂

6(330 - 3х₂)+ 5х₂ = 745

х₁= 330 - 3х₂

1980 - 18х₂+ 5х₂ = 745

х₁= 330 - 3х₂

13х₂= 1235

х₁= 45

х₂= 95

Итак, С(45; 95). Значит х₁ = 45; х₂ = 95 - план производства изделий А₁ и А₂, обеспечивающий максимальную прибыль от реализации готовой продукции:

f_max = 16∙45 + 22∙95 = 2810 (ден.ед.)