Задача №1.

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (У, млн. руб.) от объема капиталовложений (Х, млн. руб.).

Требуется:

1. Для характеристики У от Х построить следующие модели:

- линейную;

- степенную;

- показательную;

- гиперболическую.

2. Оценить каждую модель, определив:

- индекс корреляции;

- среднюю относительную ошибку;

- коэффициент детерминации;

- F- критерий Фишера.

3. Составить сводную таблицу вычислений, выбрать наилучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.

4. Рассчитать прогнозное значение результативного признака, если прогнозное значение фактора увеличится на 110% относительно среднего уровня. Результаты расчетов отобразить на графике.

Решение:

1. Построение моделей регрессии.

1. Построение линейной модели парной регрессии.

Определим линейный коэффициент парной корреляции, используя данные таблицы 1.1.

t	x	y	x*y	x2	y2	y-	(y- )2	x-	(x- )2		et
1	60	36	2160	3600	1296	-6,43	41,3449	-9,43	88,9249	47,33	-11,33	-31,4722
2	68	38	2584	4624	1444	-4,43	19,6249	-1,43	2,0449	43,17	-5,17	-13,6053
3	64	46	2944	4096	2116	3,57	12,7449	-5,43	29,4849	45,25	0,75	1,630435
4	72	44	3168	5184	1936	1,57	2,4649	2,57	6,6049	41,09	2,91	6,613636
5	78	48	3744	6084	2304	5,57	31,0249	8,57	73,4449	37,97	10,03	20,89583
6	74	42	3108	5476	1764	-0,43	0,1849	4,57	20,8849	40,05	1,95	4,642857
7	70	40	2800	4900	1600	-2,43	5,9049	0,57	0,3249	42,13	-2,13	-5,325
Σ	486	294	20508	33964	12460	-3,01	113,2943	-0,01	221,7143	-	-2,99	83,38028
Ср.	69,43	42,43	2929,71	4852								13,7192

Можно сказать, что связь между Х и У прямая, достаточно сильная.

Определим уравнение линейной регрессии вида

Значения параметров а и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1.1.

Уравнение регрессии будет иметь вид:

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции уменьшится в среднем на 520 тыс. руб. Это свидетельствует о неэффективности работы предприятий, и необходимо принять меры для выяснения причин и устранения этого недостатка.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Вариация результата у на 37,09% объясняется вариацией фактора Х.

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F- критерия Фишера:

F<Fтабл.=6,61 для α=0,05; к1=m=1, к2=n-m-1=5

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически не значимое, так как F<Fтабл.

Определим среднюю ошибку:

В среднем расчетные значения у для линейной модели отличаются от фактических значений на 13,7192%.

2. Построение степенной модели парной регрессии.

Уравнение степенной модели имеет вид:

Для построения этой модели произведем линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обоих частей уравнения (данные приведены в таблице 1.2):

Таблица 1.2

t	y	lg y	x	lg x
1	36	1,556303	60	1,778151
2	38	1,579784	68	1,832509
3	46	1,662758	64	1,80618
4	44	1,643453	72	1,857332
5	48	1,681241	78	1,892095
6	42	1,623249	74	1,869232
7	40	1,60206	70	1,845098
∑	294	11,34885	486	12,8806
cp	42	1,621264	69,43	1,840085

Обозначим

Тогда уравнение примет вид: Y=A+вx – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.3.

t	y	Y	x	X	X*Y	X2		E	Eотн	E2
1	36	1,556303	60	1,778151	2,767341	3,161822	37,60243	-1,60243	-4,45119	2,567771
2	38	1,579784	68	1,832509	2,894968	3,358089	41,2774	-3,2774	-8,62474	10,74135
3	46	1,662758	64	1,80618	3,00324	3,262286	39,45457	6,545434	14,2292	42,8427
4	44	1,643453	72	1,857332	3,052438	3,449684	43,07308	0,926923	2,106642	0,859185
5	48	1,681241	78	1,892095	3,181067	3,580022	45,71973	2,280269	4,750559	5,199625
6	42	1,623249	74	1,869232	3,034229	3,494027	43,96133	-1,96133	-4,66983	3,846815
7	40	1,60206	70	1,845098	2,955958	3,404387	42,17851	-2,17851	-5,44627	4,745905
∑	294	11,34885	486	12,8806	20,88924	23,71032	178,6641	0,732959	2,10562	70,80336
ср		1,621264	69,43	1,840085	2,984177	3,387188	41,92173

Уравнение регрессии будет иметь вид: Y=0.2505+0.745X

Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения и получим уравнение степенной модели регрессии:

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем у и фактором х можно считать сильной.

Определим коэффициент детерминации:

Вариация результата У на 37,5% объясняется вариацией фактора Х.

Оценку значимости проведем с помощью F- критерия Фишера:

F<Fтабл.=6,61 для α=0,05; к1=m=1, к2=n-m-1=5

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически не значимое, так как F<Fтабл.

Определим среднюю относительную ошибку:

В среднем расчетные значения у для степенной модели отличаются от фактических значений на 0,3%.