Пример решения задачи в системе MathCad

1. 

2. Кинетика реакций второго порядка

Реакция второго порядка имеет вид:

(5)

Будем считать, что исходные концентрации реагирующих веществ (а если речь идет о модели каких-то биологических процессов – исходные численности взаимодействующих элементов системы) равны при t=0 соответственно a₀иb₀.Обозначимх - количество каждого из реагирующих веществ, израсходованного в течение времениt.Поскольку вещества взаимодействуют в отношении 1:1, для каждого из ниххбудет иметь одно и то же значение. Поэтому кинетическое уравнение можно записать так:

(6)

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Произведя эту операцию, получим

Используя алгебраическое тождество

получим удобный для интегрирования вид уравнения (6):

После интегрирования и нахождения постоянной интегрирования из условия при t=0,x=0 получим

или

Легко убедиться, что при наличии большого избытка одного из реагентов, например В, так что b₀по все время процесса можно считать постоянной, реакция будет протекать как реакция первого порядка b выражение длях(что соответствует количеству продукта в правой части (5)) будет иметь вид такой же, как и в предыдущем разделе. Подобная ситуация типична для биохимических процессов, где вода является одним из реагирующих веществ, поскольку в большинстве биологических систем она присутствует в избытке, так что концентрация ее всегда практически постоянна.

Рассмотрим один пример реакции второго порядка. В уравнении реакции первого порядка, описывающем скорость размножения клеток

величина α не является постоянной, так как следует учитывать, что клетки не только размножаются, но и погибают, выбывая из процесса экспоненциального роста. Поэтому Ферхюльстом и Пирлем (в 1924 г.) была предложена зависимость α от числа клеток

α = β – γN

так что кинетическое уравнение приняло вид

где β и γ – константы.

Очевидно, что это уравнение второго порядка. Его решение имеет вид

Пример решения задачи Всистеме MathCad

Линейные цепи реакций

Множество метаболических процессов и процессов более высокого уровня биологической организации представляют цепи последовательных превращений, которые можно упрощенно представить в виде трехзвенной цепи: субстрат - промежуточный продукт – конечный продукт:

Оговорим вновь условия протекания процесса. Приt = 0, a = a₀, b = c = 0. Система закрытая, так что а+b+с=а₀ в любой момент времени. Запишем систему уравнений:

Решение первого из уравнений (9) можно записать сразу:

Из условия постоянства массы вещества в системе имеем:

Подставляя это выражение в последнее из уравнении (9), получим

Общее решение этого уравнения с правой частью, отличной от нуля, как известно, складывается из решения однородного уравнения

ичастного решения неоднородного уравнения. Это частное решение будем искать в виде

гдеR₁ иR₂—искомые постоянные. Подставляя это выражение в уравнение (10), получим

Приравнивая свободные членыикоэффициенты при экспонентах, найдем

Полное решение уравнения (10) выглядит с учетом общего решения однородного уравнения так:

Из начальных условии найдем константу интегрирования С:

В окончательном виде решение для сзапишется:

Выражение для bнаходится без труда из условия сохранения количеств вещества. После несложных преобразовании оно приводится к виду:

Частным случаем трехзвенной цепи является также последовательность превращений первого и пулевого порядков

В этом случае кинетические уравнения упрощаются:

и дают такие решения (при сохранении указанных условий):

Характерными примерами подобных цепей являются многие ферментативные реакции при высоких концентрациях субстрата, некоторые стадии всасывания аминокислот, условия размножения насекомых и др.