Приравнивая правые части выражений (10.7), (10.8), получим

(10.9)

то есть при последовательном соединении конденсаторов суммируются величины, обратные ёмкостям.

Уединённый проводник, имеющий заряд q, создает электростатическое поле, потенциальная энергия которого определяется по формулам:

(10.10)

Заряженный конденсатор, являясь совокупностью двух заряженных проводников, обладает энергией. Энергия электростатического поля заряженного конденсатора определяется соотношениями:

(10.11)

Они справедливы при любой форме обкладок конденсатора.

Энергия, подобно веществу, распределена в пространстве с определённой плотностью.

Объёмная плотность энергии – физическая скалярная величина, равная энергии, заключённой в единице объёма пространства:

(10.12)

где W_e = = – энергия электростатического поля плоского конденсатора; V = S d – объём конденсатора; Е – напряжённость электростатического поля.

Приведённое выражение (10.12) справедливо и для неоднородного поля, где Е – напряжённость поля в данной точке. Тогда полная энергия электрического неоднородного поля определяется выражением:

(10.13)

Примеры решения задач

Задача 1. Коаксиальный электрический кабель состоит из центральной жилы и концентрической по отношению к ней цилиндрической оболочки, между которыми находится изоляция. Найти электроёмкость единицы длины такого кабеля, если радиус жилы 1,3 см, радиус оболочки 3 см и диэлектрическая проницаемость изоляции 3,2 (рис.10.3).

Дано:

R₁ = 1,3 см = 0,013 м

R₂ = 3 см = 0,03 м

 = 3,2

- ?

Рис.10.3

Решение Электроёмкость

где q – заряд на обкладке; - разность потенциалов на обкладках конденсатора.

Для вывода формулы электроёмкости воспользуемся связью напряжённости электрического поля с потенциалом:

Напряжённость электрического поля между жилой и оболочкой вычисляется с помощью теоремы Остроградского – Гаусса:

Тогда

Ёмкость единицы длины кабеля

Ответ:

Задача 2. 1) Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см², расстояние между ними 5 мм. К пластинам приложена разность потенциалов 300 В. После отключения конденсатора от источника напряжения, пространство между пластинами заполняется эбонитом. а) какова будет разность потенциалов между пластинами до и после заполнения? б) какова ёмкость конденсатора до и после заполнения? в) какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения? г) как изменится энергия поля конденсатора до и после заполнения?

2) Решить эту задачу для случая, когда заполнение эбонитом конденсатора производится при включённом источнике напряжения.

Дано:

U₁ = 300 В

S = 100 см² = 10^-2 м ²

d = 5 мм = 510^-3 м

= 3

U₂ - ? С₁ - ? С₂­ - ? - ? -?

Решение

Конденсатор и поле в нём характеризуют ёмкость C, напряжённость , индукция, напряжение на обкладках и заряд на обкладках.

1) Рассмотрим, как изменяются все эти величины

при отключённом источнике при заполнении эбонитом

, т.к. при отключении источника заряд на пластине не меняется.

D₁ = D₂ = , т.к. индукция электростатического поля не зависит от среды.

С₁  С₂; ;

U₁  U₂; U₁=Е₁d U₂=E₂d(

а)

В.

б) Ф;С₂ = 3 С₁ = 5,3110^-11 Ф.

в)

г)

2) Если источник напряжения остаётся включённым, то постоянным будет уже не заряд (он может подтекать к пластинам от источника), а напряжение на пластинах, которое поддерживается за счёт источника постоянным.

U₁ = U₂; E₁ = E₂ =D₁  D₂; D₁ =

а) U₁ = U₂ = 300 В.

б)

в) С₁ = 1,7710^-11 Ф; С₂ = 5,3110^-11 Ф.

г)

Ответ: 1) U₂ = 100 В; С₁ = 1,7710^-11 Ф; С₂ = 5,3110^-11 Ф; 2)U₂ = 300 В; С₁ = 1,7710^-11 Ф; С₂ = 5,3110^-11 Ф.

Задача 3. На пластины плоского конденсатора подана разность потенциалов U = 4000 В. Определить поверхностную плотность заряда на пластинах и на диэлектрике, заполняющем пространство между пластинами. Расстояние между пластинами d = 5 мм,  парафина равна 2 (рис.10.4)

Дано:

U = 4000 B

d = 5 мм = 510^-3м

 = 2

_р - ?  - ?