3.1. Погрешность вычисления значений функции.

3.2. Погрешность суммы.

3.3. Погрешность разности.

3.4. Погрешность произведения.

3.5. Погрешность частного.

3.6. Обратная задача оценки погрешности.

4. Вычисление погрешности арифметических операций в среде Mathcad .

5. Контрольные задачи.

6. Задания на самостоятельную работу.

6.1. Задача .

6.2. Краткие сведения по работе в среде MathCad(продолжение).

7. Контрольные вопросы .

1. Абсолютная и относительная погрешность величины

Теоретический материал.

Пусть - точное значение,- приближенное значение некоторой величины.Абсолютной погрешностью приближенного значения называется величина.

Относительной погрешностью значения (при0) называется величина

.

Так как значение как правило неизвестно, чаще получаютоценки погрешностей вида:

.

Величины иназываютверхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.

Значащимися цифрами числа называются все цифры в его изображении ,

начиная с первой не нулевой слева.

Значащую цифру числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит 0.5 единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример 1.1. Абсолютная и относительная погрешности приближенного числа e.

Число e - трансцендентное число, представляется бесконечной непериодической дробью e = 2.71828…. (ограничимся 5-ю цифрами в дробной части).

Приближенное значение числа e* = 2.7.

Граница абсолютной погрешности | e - e* | < 0.019,

относительная погрешность числа ,

Пример 1.2. Значащие цифры числа.

Значащие цифры чисел подчеркнуты: 0.03589,    10.4920,   0.00456200.

Пример 1.3. Верные цифры числа.

Верные цифры числа a = 356.78245 подчеркнуты.

Если , то верных цифр в числе 4:a = 356.78245.

Если , то верных цифр в числе 7:a = 356.78245.

2. Значения машинного нуля, машинной бесконечности и машинного эпсилон .

Теоретический материал.

В ЭВМ для вещественных чисел используется двоичная система счисления и принята форма представления чисел с плавающей точкой :

, ,

где - мантисса ;

- двоичные цифры, причем всегда =1;

р - целое число называемое двоичным порядком.

Количество t цифр, которое отводится для записи мантиссы, называется разрядностью мантиссы.

Диапазон представления чисел в ЭВМ ограничен конечной разрядностью мантиссы и значением числа p.

Все представимые числа на ЭВМ удовлетворяют неравенствам:

,

где ,.

Все числа, по модулю большие , не представимы на ЭВМ и рассматриваются какмашинная бесконечность.

Все числа, по модулю меньшие , для ЭВМ не отличаются от нуля и рассматриваются какмашинный нуль.

Машинным эпсилон называется относительная точность ЭВМ, то есть граница относительной погрешности представления чисел в ЭВМ.

Покажем, что .

Пусть , тогда граница абсолютной погрешности представления этого числа равна. Поскольку, то величина относительной погрешности представления оценивается так:

.

Машинное эпсилон определяется разрядностью мантиссы и способом округления чисел, реализованным на конкретной ЭВМ.

Пример 2.1. Определение диапазона представления чисел в ЭВМ (машинный нуль , машинная бесконечность ) , границы относительной погрешности представления чисел в ЭВМ (машинное эпсилон ) .

Примем следующие модели определения приближенных значений параметров, требуемых в задаче:

1. Положим , гдеn - первое натуральное число, при котором происходит переполнение.

2. Положим , гдеm – первое натуральное число , при котором совпадает с нулем.

3. Положим , гдеk – наибольшее натуральное число, при котором сумма вычисленного значения 1+ еще больше 1. Фактическиесть граница относительной погрешности представления числа.

Значений параметров, требуемых в задаче , будем оценивать методом вычислительного эксперимента в среде MathCad .

Вычислительный эксперимент :

Настройка среды MathCad (системные переменные ).

Изменение значений системных переменных производят во вкладке Встроенные переменные диалогового окна Math Options команды Математика  Опции.

1) Допустимая погрешность - значение системной переменной TOL (по умолчанию TOL =10^-3).

Установить TOL:=10^-15.

2) Изменение количества цифр в результате после разделяющей точки

производят во вкладке Результат диалогового окна Количество десятичных позиций команды Формат  Результат.

Установить равным 16 (по умолчанию равно 3) , что на 1 больше порядка величины TOL – для возможности округления конечного результата .

Вычислительный эксперимент по оценке значений параметров , требуемых в задаче , выполнить по следующей схеме :

1. Математические модели вычислительного эксперимента задать в виде :

• для машинной бесконечности – inf(n):=2ⁿ (1) ;

• для машинного нуля – zero(m):=2^-m (2);

• для машинного эпсилон -- eps(k):=2^-k (3).