- •Министерство образования, науки и молодежи республики крым гбпоу рк «керченский политехнический колледж»
- •Методические рекомендации
- •Методические рекомендации:
- •Тематический план
- •Раздел 2. Линейная алгебра
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Раздел 4. Основы интегрального и дифференциального исчисления
- •Раздел 6. Дифференциальные уравнения
- •Раздел 8. Элементы теории вероятностей и математической статистики
- •Числовые характеристики выборки.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •1.Числовые ряды
- •2. Ряды с положительными членами.
- •3. Знакопеременные ряды
- •4. Степенные ряды
- •5. Ряд тейлора
- •Задания контрольной работы Комплексные числа
- •Линейная алгебра.
- •Основы математического анализа Основы интегрального и дифференциального исчисления
- •Дифференциальные уравнения
- •Элементы теории вероятностей и математической статистики
- •Рекомендованная литература
- •Интернет-ресурсы:
3. Знакопеременные ряды
Числовой ряд, содержащий как положительные так и отрицательные члены, называется знакопеременным.
12. Пусть ряд
(8)
является знакопеременным. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:
(9)
Если ряд (9) сходится, то и ряд (8) тоже сходится. Ряд (8) при этом называется абсолютно сходящимся.
13. Если ряд (9) расходится, то из этого не следует, что и (8) расходится, ряд (8) может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.
Возможен случай, когда ряд (8) сходится, а (9) расходится. Тогда ряд (8) называется условно (неабсолютно) сходящимся.
14. Знакопеременный ряд вида
называется знакочередующимся.
Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда, начиная с некоторого номера N,
1)монотонно убывают по абсолютной величине и и
2) стремятся к нулю
,
то ряд сходится, сумма его положительна и не превышает первого члена ряда.
15. При замене суммы S ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, суммой его первых n членов абсолютная величина совершённой ошибкине превышает абсолютной величины первого из отброшенных
Пример: Ряд
называемый рядом Лейбница, сходится по признаку Лейбница. В то же время, ряд, составленный из абсолютных величин его членов,
расходится (гармонический ряд).
Таким образом, ряд Лейбница - условно сходящийся ряд.
4. Степенные ряды
16. Ряд
называется функциональным, если его члены являются функциями от x. Совокупность всех значений х, при которых этот ряд сходится, называется его областью сходимости. В области сходимости сумма функционального ряда S(x) есть функция от х.
17. Степенным рядом называется функциональный ряд вида
(1)
где (n = 0, 1, …) – числа, называемые коэффициентами ряда. При a = 0 ряд принимает вид
(2)
18. Область сходимости степенного ряда (2) есть симметричный относительно начала координат O интервал (–R, R), называемый интервалом сходимости ряда (2). Число R (0 ≤ R < +∞) называется радиусом сходимости ряда (2).
Радиус сходимости может быть вычислен по формулам
(3)
или
(4)
Степенной ряд (2) внутри интервала сходимости сходится абсолютно. Вне интервала сходимости ряд (2) расходится. При x = –R или x = R ряд (2) может оказаться расходящимся, сходящимся условно или сходящимся абсолютно.
19. Степенной ряд (1) сходится абсолютно на интервале (a–R; a+R).
20. Внутри интервала сходимости сумма степенного ряда есть непрерывная функция. Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда.
Пример 2: Найти область сходимости ряда. Исследовать сходимость ряда в концах интервала:
Решение:
Применим формулу (3) для нахождения радиуса сходимости. При этом
Таким образом, ряд сходится абсолютно внутри интервала и расходится вне этого интервала. Исследуем точки x=и x=:
При x=ряд принимает вид
Это гармонический ряд, известно, что он расходится.
При x= ряд принимает вид
Это ряд Лейбница, он сходится условно (см. 15.).
Следовательно, область сходимости данного ряда .
Ответ: .
5. Ряд тейлора
21. Формула Тейлора.
Пусть функция )(xf имеет на некотором отрезке непрерывные производные до (n+1)-го порядка включительно, а точка a находится внутри этого отрезка. Тогда для любого x из этого отрезка имеет место формула Тейлора:
, (1)
где остаточный член может быть записан в виде
(2)
(форма Лагранжа), причём c лежит между и x.
22. Если функция имеет производные всех порядков на некотором отрезке, содержащем внутри себя точку x = , и выполняется условие
(3)
для всех x из указанного отрезка, то функция на этом отрезке является суммой степенного ряда:
(4)
Этот ряд называется рядом Тейлора для данной функции. Говорят, что функция разложена в ряд Тейлора на этом отрезке.
В случае = 0 ряд Тейлора принимает вид
(5)
Этот ряд называется рядом Маклорена для данной функции.
23. При разложении функций в степенные ряды часто используются разложения в ряд Маклорена следующих функций:
(6)
(7) (8)
(9) (10)
(11)
(12)
В скобках указаны промежутки, на которых верны указанные разложения.