II часть Примеры решения задач

Задача 1. Исследование спектра излучения Солнца показывает, что максимум спектральной плотности энергетической светимости соответствует длине волны . Принимая Солнце за абсолютно черное тело определить: а) энергетическую светимость Солнца; б) поток энергии, излучаемый Солнцем; в) массу электромагнитных волн, излучаемых Солнцем за одну секунду.

Дано:Решение

а) Энергетическая светимость R_э абсолютно черного тела по закону Стефана - Больцмана равна

(1)

t = 1

R_э - ? Ф - ?

т - ?

где - постоянная Стефана - Больцмана,Т – абсолютная температура излучающей поверхности.

Температура определяется из закона смещения Вина

где = 2,9^. 10^-3 м К – постоянная Вина, _т – длина волны, заданная в задаче. Выразив температуру из закона Вина и подставив ее в (1), получим

.

Вычислим R_э:

б) Поток энергии Ф, излучаемый Солнцем, равен произведению энергетической светимости Солнца на площадь S его поверхности:

где R = 7 ^. 10⁸ м – радиус Солнца.

Вычислим Ф:

в) Массу электромагнитных волн за 1 с определим из закона пропорциональности массы и энергии

,

где с – скорость света в вакууме.

Энергия электромагнитных волн равна произведению потока энергии (мощности излучения) на время t

Е = Ф t.

Следовательно, , откуда

.

Вычислим т:

Ответ: R_э = 6,4 ^. 10⁷ , Ф = 3,9^. 10²⁶ Вт, т = 4 ^. 10⁹ кг.

Задача 2. Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения абсолютно черного тела _т = 0,58 мкм. Определить спектральную плотность е_ энергетической светимости, рассчитанную на интервале длин волн 1)  = 1 м; 2)  = 1 нм, вблизи _т.

Дано: Решение



Максимум спектральной плотности энергетической светимости пропорционален пятой степени абсолютной температуры

_т = 0,58 мкм = 5,8 ^. 10^-7 м

м

е_ - ?

где для единичного интервала длин волн 1 м.

Абсолютную температуру Т вычисляем по закону смещения Вина:

,

где .

Тогда

Вычислим :

полученное значение спектральной плотности энергетической светимости соответствует интервалу длин волн  = 1 м, для интервала длин волн  = 10^-9 м получим

Ответ:

Задача 3. Определить температуру Солнца, если на 1 см² поверхности Земли поступает за 1 мин 8 Дж энергии.

Дано:

t = 1 мин = 60 сек

W₁ = 8 Дж

Т-?

Рис.28.3

Выписываем из таблицы

м;

R_C-З = 1,49 ^. 10¹¹ м.

Решение

По закону Стефана – Больцмана

где

По определению энергетическая светимость R_э – это энергия, испускаемая единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям в единицу времени. Тогда

где W – полная энергия, излучаемая Солнцем; - площадь поверхности Солнца;t – время излучения; - энергия, приходящаяся на 1 м² поверхности Земли; - поверхность сферы, в которую излучается энергия Солнца.

Тогда ,

.

Вычислим Т:

Ответ: Т = 5750 К.

Задача 4. Поток энергии, излучаемой из смотрового окошка плавильной печи, Ф = 34 Вт. Определить температуру печи, если площадь отверстия S = 6 см².

Дано: Решение

Ф

По закону Стефана - Больцмана

R_э =  Т ⁴,

= 34 Вт

S = 6 ^. 10^-4 м²

Т - ?

откуда

.

По определению

Ответ: Т = 1000 К.

Задача 5. Какова должна быть температура абсолютно черного тела, чтобы максимум спектральной плотности энергетической светимости приходился на красную границу видимого спектра (7,6 ^. 10^-7)? На фиолетовую (3,8 ^. 10^-7 м)?

Дано:Решение

м Температуру определим из закона Вина:

м

Вычислим

Ответ:

Задача 6. Какое количество энергии излучает 1 см² затвердевающего свинца в 1 сек. отношение энергетических светимостей поверхностей свинца и абсолютно черного тела для этой температуры считать равным 0,6. Температура поверхности t = 327 ⁰С.

Дано: Решение

По закону Стефана - Больцмана для абсолютно черного тела

,

для любого тела

t = 1 с

 = 0,6

Т = 600 К

W - ?

,

где - энергетическая светимость тела.

По определению откуда, тогда.

Вычислим энергию W:

Ответ: W = 0,46 Дж.

Задача 7. В каких областях спектра лежат длины волн, соответствующие максимуму спектральной плотности энергетической светимости, если источником света служит: 1) спираль электрической лампочки (Т = 3000 К); 2) поверхность Солнца (Т = 6000 К); 3) атомная бомба в момент взрыва (Т = 10⁷ К)? Излучение считать близким к излучению абсолютно черного тела.

Дано:Решение

По закону смещения Вина

,

где .найдем :

= 3000 К

= 6000 К

= 10⁷ К

;

;

Изобразим график зависимости спектральной плотности энергетической светимости от длины волны и температуры (рис.28.4).

Ответ: = 9,7^. 10^-7 м, = 4,7^. 10^-7 м, = 2,9^. 10^-10 м.