Добротность

где N  число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.

Чтобы в реальном осцилляторе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора F (t), изменяющегося по гармоническому закону .

Дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний

(23.23)

где - внешняя вынуждающая сила.

Решением этого уравнения является выражение

, (23.24)

где А – амплитуда вынужденных колебаний;   разность фаз смещения и внешний вынуждающей силы.

(23.25)

. (23.26)

Формулы для резонансной амплитуды

(23.27)

и частоты

. (23.28)

Примеры решения задач

Задача 1. Уравнение гармонических колебаний материальной точки м. Определить амплитуду, период и начальную фазу. Построить векторную диаграмму.

Дано:Решение

Запишем уравнение гармонического колебания в общем виде и сравним его с данным уравнением , гдех –

м

А - ? Т - ? - ?

смещение колеблющейся точки от положения равновесия; А  амплитуда колебаний;  циклическая частота;  начальная фаза.

При сравнении находим А = 0,08 м; ; .

Период колебаний с.

Векторная диаграмма имеет вид (рис.23.4).

Ответ: А = 0,08 м; Т = 2 с; = 0,2.

Задача 2. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой А = 10 см и периодом Т = 2 с. Написать уравнение смещения колеблющейся точки. Определить фазу колебаний для двух моментов времени: 1) когда смещение точки = 6 см; 2) когда скорость точкиV = 10 .

Д Решение Смещение материальной точки при гармонических колебаниях с-1. Ано:

А = 10 см = 0,1 м

Т = 2 с

cм = 0,06 м

V = 10 = 0,1

х ?  ?  ?

Используя условие задачи, получим

м. (1)

1) Зная смещение , запишем уравнение в виде, где- фаза колебаний в данный момент времени.

Тогда и(рад).

2) Скорость материальной точки

.

Используя условие задачи, получим

,

откуда

sinирад.

Ответ: м;рад;рад.

Задача 3. Материальная точка массой 10 г совершает гармонические колебания, уравнение смещения которых имеет вид м. Найти максимальную силу, действующую на точку, и полную энергию колеблющейся точки.

Дано:Решение

т

Максимальную силу, действующую на материальную точку, можно найти двумя способами:

1) По второму закону Ньютона F = т а, тогда

; (1)

= 10 г = 0,01 кг

м

? W  ?

.

Ускорение максимально при , тогда, подставляя в формулу (1) получаемН.

2) Сила, вызывающая колебания точки по закону Гука F =  k x, тогда максимальная сила , гдеА  амплитуда колебаний.

Дифференциальное уравнение гармонического колебания:

,

где , откуда.

Решение дифференциального уравнения: . Сравнивая с данным в задаче уравнением, находимc^-1.

Тогда

Н.

Полная энергия колеблющейся точки равна сумме кинетической и потенциальной энергии и является постоянной величиной:

Дж.

Ответ: Н;Дж.

Задача 4. Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения двух одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями: см исм. Написать уравнение результирующего колебания. Построить векторную диаграмму сложения амплитуд.