Решение

Зависимость давления от высоты определяется барометрической формулой.

,

Дано:

μ = 29 ^. 10^–3

= 750 мм рт. ст.

р = 675 мм рт. ст.

Т = 290 К

h - ?

откуда находим высоту h:

,

откуда

м.

Ответ: h = 895 м.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа равна 450 . Давление газа 5 ^. 10⁴ Па. Найти плотность газа при этих условиях.

Ответ:  = 0,74 .

Задача 2. В сосуде объемом 2 л находится 10 г кислорода под давлением 680 мм рт. ст. Найти: 1) среднюю квадратичную скорость молекул газа; 2) число молекул, находящихся в сосуде; 3) плотность газа.

Ответ: V_кв = 230 ; N = 1,9 ^. 10²³;  = 5 .

Задача 3. При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул азота больше их наиболее вероятной скорости на 50 ?

Ответ: Т = 83 К = 190 ⁰С.

Задача 4. Какая часть молекул кислорода при 0 ⁰С обладает скоростями 100…110 .

Ответ:

Задача 5. Какая часть молекул азота при 150 ⁰С обладает скоростями 300…325 .

Ответ:

Задача 6. При какой температуре воздуха средние скорости молекул азота и кислорода отличаются на 20 .

Ответ: Т = 126 К.

Задача 7. Вычислить наиболее вероятную, среднюю и среднюю квадратичную скорости молекул кислорода при 20 ⁰С.

Ответ: V_вер = 390 ; <V> = 440 ; V_кв = 478 .

Задача 8. Средняя энергия молекул гелия 3,92 ^. 10^–21 Дж. Определить среднюю арифметическую скорость молекул.

Ответ: <V> = 1000 .

Задача 9. Во сколько раз средняя квадратичная скорость молекул кислорода больше средней квадратичной скорости пылинки массой 10^–11 кг, находящейся среди молекул кислорода?

Ответ: 1,37 ^. 10⁷ раз.

Задача 10. При какой температуре молекулы гелия имеют такую же среднюю квадратичную скорость, как молекулы водорода при температуре 15 ⁰С?

Ответ: Т = 576 К.

Задача 11. Определить среднюю арифметическую скорость молекул газа, если их средняя квадратичная скорость 1000 .

Ответ: <V> = 920 .

Задача 12^*. Во сколько раз число молекул N₁, скорости которых лежат в интервале от V_кв до V_кв + V, меньше числа молекул N₂, скорости которых лежат в интервале от V_вер до V_вер + V?

Ответ: для любого газа при любой температуре.

Задача 13^*. Преобразовать функцию распределения Максвелла, перейдя от переменной V к переменной U = .

Ответ: .

Задача 14^*. Некоторый газ находится в равновесном состоянии. Какой процент молекул газа обладает скоростями, отличными от наиболее вероятной не более чем на 1 %?

Ответ: .

Задача 15. На какой высоте давление воздуха составляет: 1) 75 % от давления на уровне моря? 2) 50 % от давления на уровне моря. Температуру считать постоянной и равной 0 ⁰С.

Ответ: h₁ = 2,3 км; h₂ = 5,5 км.

Задача 16. Считая атмосферу изотермической, а ускорение свободного падения - не зависящим от высоты, вычислить давление: 1) на высоте 5 км; 2) на высоте 10 км; 3) в шахте на глубине 2 км. Расчет произвести для температуры 20 ⁰С. Давление на уровне моря принять равным .

Ответ: = 0,56; = 0,33 ; = 1,26.

Задача 17. На сколько уменьшится атмосферное давление при подъеме наблюдателя над поверхностью Земли на высоту 100 м? Температуру считать постоянной и равной 15 ⁰С.

Ответ: р = 1,2 ^. 10³ Па.

Задача 18^*. Какое изменение высоты соответствует изменению давления на 1 мм рт. ст. вблизи поверхности Земли, где температура 15 ⁰С, давление 760 мм рт. ст., и на высоте 10 000 м, где температура –50 ⁰С, давление 198 мм рт. ст.?

Ответ: h₁ = 10,7 м; h₂ = 34,6 м.

Задача 19^*. Барометр в кабине летящего самолета все время показывает одинаковое давление 596 мм рт. ст., благодаря чему летчик считает высоту полета неизменной. Однако температура изменилась от 2 ⁰С до 1 ⁰С. Какую ошибку в определении высоты допустил летчик.

Ответ: h = 20 м.

Задача 20^*. Пассажирский самолет совершает полет на высоте 8300 м. В кабине при помощи компрессора поддерживают постоянное давление, соответствующее высоте 2700 м. Найти: 1) разность давлений внутри и снаружи кабины. Среднюю температуру наружного воздуха считать равной 0 ⁰С; 2) во сколько раз плотность воздуха в кабине больше плотности воздуха вне ее, если температура наружного воздуха –20 ⁰С, а внутри кабины +20 ⁰С.

Ответ: 1) = 0,354 атм, = 0,713 атм, р = 0,36 атм; 2) = 1,7 раза.

Задача 21. Какова масса 1 м³ воздуха: 1) у поверхности Земли; 2) на высоте 4 км от поверхности Земли? Температуру воздуха считать постоянной и равной 0 ⁰С. Давление воздуха у поверхности Земли равно 10⁵ Па.

Ответ: = 1,28 кг; = 0,78 кг.

Задача 22. Азот находится при температуре Т = 421 К. 1) Найти значение наиболее вероятной скорости молекул; 2) определить относительное число молекул, скорости которых заключены в пределе от 499,9 до 500,1 .

Ответ: V_вер = 500 ; = 3,3 ^. 10^–4.

Задача 23. Найти среднюю квадратичную <V_кв>, среднюю арифметическую <V> и наиболее вероятную V_вер скорости молекул водорода при температурах: 1) 3 К; 2) 273 К; 3) 6000 К.

Ответ: 1) 193 , 178 , 158 ; 2) 1850 , 1700 , 1510 ; 3) 8640 , 8000 , 7080 .

Задача 24. Какая температура соответствует средней квадратичной скорости молекул воздуха <V_кв> = 700 . Молярная масса воздуха  = 29 ^. 10^–3 .

Ответ: Т = 570 К.

Задача 25. Колба емкостью V = 4 л содержит некоторый газ массой т = 0,6 г под давлением р = 2 ^. 10⁵ Па. Определить среднюю квадратичную скорость <V_кв> молекул газа.

Ответ: <V_кв> = 2000 К.

Задача 26^*. Смесь гелия и аргона находится при температуре Т = 1200 К. Определить среднюю квадратичную скорость <V_кв> и среднюю кинетическую энергию поступательного движения атомов гелия и аргона.

Ответ: Гелий: <V_кв> = 2730 , <w> = 2,48 ^. 10^–20 Дж; аргон: <V_кв> = = 864 , <w> = 2,48 ^. 10^–20 Дж.

Задача 27^*. Взвешенные в воздухе мельчайшие пылинки движутся так, как если бы они были очень крупными молекулами. Какова средняя квадратичная скорость <V_кв> пылинки массой т = 10^–13 кг, если температура воздуха t = 27 ⁰С?

Ответ: <V_кв> = 3,5 ^. 10^–4 .

Задача 28. Какова наиболее вероятная скорость молекул водорода при температуре t = 127 ⁰С?

Ответ: V_вер = 1820 .

Задача 29. На какой высоте над поверхностью Земли атмосферное давление вдвое меньше, чем на поверхности? Температуру воздуха считать неизменной и равной 0 ⁰С.

Ответ: h = 5530 м.

Задача 30. Какая часть молекул водорода при 0 ⁰С обладает скоростями от 2000 до 2100 ?

Ответ:= 4,5 %.

Задача 31^*. Какая часть молекул азота, находящегося при температуре Т, имеет скорости, лежащие в интервале V_вер + V, где V = 20 ? Задачу решить для: 1) Т = 400 К; 2) Т = 900 К.

Ответ: 1) = 3,4 %; 2) = 2,2 %.

Задача 32^*. Какая часть молекул азота при температуре t = 150 ⁰С обладает скоростями, лежащими в интервале от V₁ = 300 до V₂ = 800 .

Ответ: = 70 %.

Задача 33^*. Какая часть общего числа молекул имеет скорости: 1) больше наиболее вероятной скорости? 2) меньше наиболее вероятной скорости?

Ответ: 1) = 57 %; 2) = 43 %.

Задача 34. На какой высоте давление воздуха составляет 60% от давления на уровне моря? Считайте, что температура воздуха везде одинакова и равна 10 С.

Ответ: h = 4,22 км.

Задача 35. Каково давление в шахте на глубине 1 км, если считать, что температура по всей высоте постоянная и равна 22 С, а ускорение свободного падения не зависит от высоты? Давление воздуха у поверхности Земли примите равным p₀.

Ответ: р = 1,12р₀.

Задача 36. Определите отношение давления воздуха на высоте 1 км к давлению на дне скважины глубиной 1 км. Воздух у поверхности Земли находится при нормальных условиях, и его температура не зависит от высоты.

Ответ: .

Задача 37. На какой высоте плотность воздуха в е раз (е – основание натуральных логарифмов) меньше по сравнению с его плотностью на уровне моря? Температуру воздуха и ускорение свободного падения считайте не зависящими от высоты.

Ответ: h = 7,98 км.