Обробка рез. вим

ГОСТ 8.207-76. При n<15 належність експерментального розподілу до нормального не перевіряється;

-визначення довірчих меж випадкової похибки. Якщо вдалося ідентифікувати закон розподілу результатів вимірювань, то з його

використанням знаходять квантильний множник zp при заданому значенні довірчої ймовірності Р. В цьому випадку довірчі межі випадкової похибки

=± Z P S X ;

-визначення меж невиключеної систематичної похибки θ результату

вимірювань. Межі невиключеної систематичної похибки вважають рівними межам допустимих основних і додаткових похибок засобів вимірювання, якщо їх випадкові складові дуже малі. Довірча ймовірність при визначенні меж θ береться рівною довірчій ймовірності, що використовується при знаходженні меж випадкової похибки;

- визначення довірчих меж похибки результату вимірювання р. Така операція здійснюється шляхом додавання СКВ випадкової складової SX і меж

невиключеної систематичної складової θ залежно від їх співвідношення; - запис результату вимірювання. Результат вимірювання записується у

вигляді X = X ± P при довірчій імовірності P=Pд.

1.3.2 Оцінка випадкових похибок опосередкованих вимірювань

Опосередковані вимірювання – це вимірювання, при яких шукане значення Q знаходять на основі відомої залежності

Q = F(Q1, Q2, …, Qm),

де Q1, Q2,…, Qm – значення, отримані при прямих вимірюваннях.

За виглядом функціональної залежності F вони поділяються на дві основні групи – лінійні та нелінійні. Для лінійних опосередкованих вимірювань математичний апарат статистичного опрацювання отриманих результатів розроблений детально. Опрацювання результатів опосередкованих вимірювань виконується, як правило, методами: заснованими на окремому опрацюванні аргументів та їх похибок; лінеаризації; приведення; перебору.

Методика опрацювання результатів опосередкованих вимірювань наведена в документі МИ 2083-90 “ГСИ. Измерения косвенные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей”.

Оцінку випадкових похибок опосередкованих вимірювань необхідно здійснювати за такою методикою:

1.Визначити для результатів прямих вимірювань x і σ [x];

2.Визначити значення невідомої величини q = f (x1, x2 ,.., xn );

3.Визначити вагу кожної часткової похибки опосередкованих вимірювань

∂∂xfi xi = xi ;

4. Обчислити часткові вагові похибки опосередкованих вимірювань

10

exi = ¶¶xfi σ [xi ];

5. Знайти оцінку СКВ результату опосередкованого вимірювання

6.Знайти коефіцієнт kt Стьюдента за заданою довірчою ймовірністю Р і кількістю вимірювань n;

7.Знайти граничні значення випадкової складової похибки, яку приймають за похибку опосередкованого вимірювання

D= ±kt ×σ q ;

8.Записати результат опосередкованого вимірювання

q ± , P .

Для визначення похибки результату опосередкованого вимірювання необхідно застосувати такі правила:

1. Якщо результат вимірювання представляється сумою або різницею двох і більше виміряних величин

q= x + ... + z − (u + ... + w) ,

іпохибки x,..., w незалежні і випадкові, то абсолютна похибка результату може бути визначена за формулою

Dq = (Dx)2 + ... + (Dz)2 + (Du)2 + ... + (Dw)2 .

2. Якщо кінцевий результат вимірювання подається добутком або часткою

3. Якщо результат опосередкованого вимірювання є функцією однієї величини – q = f (x) , то похибка результату визначається як

11

1.3.3 Оцінка випадкових похибок сукупних та сумісних вимірювань

При сукупних вимірюваннях невідомі величини хі, що підлягають безпосередньому вимірюванню, визначаються за результатами вимірювання інших величин, які функціонально пов’язані з ними

ϕ(x1, x2 ,..., xn ) = y j ,

де і = 1, 2, ..., n – порядковий номер невідомих величин х;

j = 1, 2, ..., m – порядковий номер прямих вимірювань величин у.

Якщо результат прямих вимірювань y містять випадкові похибки, то вони мають місце і в результаті сукупних вимірювань величини хі.

Розглянемо три випадки:

1.Очевидно, що для m<n систему розв’язати неможливо.

2.Для m=n розв’язання можливе, але похибки результатів вимірювання

величини хі будуть, як і для прямих одноразових вимірювань, значними і числові значення цих похибок залишаються невідомими.

3.Для m>n систему також неможливо розв’язати алгебраїчно тому, що ці рівняння несумісні, оскільки праві частини рівнянь замість точних

вимірювання величини уі можна знайти таку сукупність значень хі, яка б з найбільшою імовірністю задовольняла початкові умови ϕ(x1, x2 ,..., xn ) = y j . Це

можна здійснити за допомогою методу найменших квадратів (принципу Лежандра).

Такий спосіб опрацювання експериментальних даних для сукупних вимірювань доцільно застосовувати для лінійних функцій. В інших випадках

12

Ці рівняння називають умовними. Через наявність похибок праві частини умовних рівнянь дорівнюють не нулю, а деяким залишковим похибкам

n

å a ji xi - y j =ν i , j = 1,2,...,m .

i=1

Згідно з принципом Лежандра найімовірнішими значеннями невідомих величин хі для цього випадку будуть такі, для яких сума квадратів залишкових похибок ν 2j мінімальна

m

åν 2j = min .

j=1

Необхідною умовою такого мінімуму повинна бути рівність нулю похідних

нормальних рівнянь

n

åbhi xi = ch , h = 1, 2, …, n,

i=1

яку в розгорнутому вигляді записують так:

Тут індекси при коефіцієнтах b показані у послідовності „рядок - стовпець” (h- i).

Оскільки кількість нормальних рівнянь завжди дорівнює кількості невідомих, то така система має розв’язок.

Методика отримання нормальних рівнянь.

Загальний спосіб знаходження системи нормальних рівнянь полягає у знаходженні часткових похибок від кожної ν j за кожною з невідомих хі,

перемноженням цих похідних на відповідні значення ν j та додаванні їх для кожної невідомої хі

Сукупність даних виразів є системою з n нормальних рівнянь. Визначення нормальних рівнянь для n = 2.

Припустімо, що в результаті сукупних вимірювань отримано таку систему

13

m

b22 = å a2j 2. j=1

Тоді значення с1, с2 визначають як

m

c1 = å a j1 y j ,

j=1

Розв’язання системи нормальних рівнянь.

Якщо кількість невідомих n<=4, то систему нормальних рівнянь доцільно розв’язувати за допомогою визначників. Розглянемо розв’язування систем нормальних рівнянь для n = 2.

У цьому випадку складають та обчислюють головний визначник цієї системи рівнянь

D = b11 b12 , b21b22

далі складають та обчислюють частинні визначники D1 та D2, замінивши коефіцієнти b при відповідних невідомих на члени с в системі

D1 = c1 b12 , c2 b22

D2 = b11 c1 , b21 c2

потім знаходять найбільш ймовірні значення невідомих

x1 = DD1 ; x2 = DD2 .

14

Середні квадратичні значення результатів сукупних вимірювань. Після підстановки найімовірніших значень xi до умови

Середнє квадратичне відхилення результатів сукупних вимірювань знаходять за формулою

де m – кількість умовних рівнянь; n – кількість невідомих;

Ahi – ад’юнкти (алгебраїчні доповнення) елементів bhi головної діагоналі визначника D (для h = i), які отримують викривленням h – го рядка та і –го стовпця, відповідних даному елементу bhi, з подальшим домноженням на (-1)h+1.

Для n=2 ад’юнкти: A11=b22; A22=b11.

Довірчі границі випадкової складової похибки сукупних вимірювань. Задавшись значенням довірчої імовірності, знаходять відповідне значення

коефіцієнта довіри tp. У цьому випадку число ступенів свободи дорівнює k=m-n.

Довірчі границі випадкової похибки сукупних вимірювань становлять

i = ±t p Sx .

15

2 ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

2.1 Приклад розв’язування задачі 1

Проведено вимірювання за допомогою вольтметра з uk = 1000 В і класом точності 0,1/0,01, в результаті яких отримано показ вольтметра U = 500,2 В.

Вимірювання здійснено при температурі навколишнього середовища Q = 5o C , магнітному полі напруженістю Н=400 А/м, напруга живлення приладу 205 В.

Температурна похибка не перевищує основну на кожних 10o C відхилення

температури від нормальної області (20 ± 2)o C , магнітна – половини від основної при напруженості зовнішнього поля до 400 А/м, при відхиленні напруги живлення за межі 220 В ± 4% до значень від 187 до 240 В додаткова похибка не перевищує половини від основної.

Оцінити граничні значення основної та додаткових похибок при Р=0,95. Записати результат вимірювання в одній із форм подання.

Розв’язання

Похибка вимірювання складається з основної інструментальної, яка визначається за класом точності вольтметра, та додаткових, зумовлених відхиленням температури навколишнього середовища від нормальної, наявність зовнішнього магнітного поля та відхилення напруги живлення поза межі допустимих значень.

1. Оскільки клас точності приладу нормовано сталими с та d, а саме 0,1/0,01, то основна відносна гранична похибка δO гр вимірювання напруги

2. Нормальний діапазон температури навколишнього середовища від 18 до 22 o C , то ж значення температури навколишнього середовища Q = 5o C

δΘгр = ±δОгр ΔΘ10 = ±0,111510 = ±0,165.

3.Напруженість зовнішнього магнітного поля Н=400 А/м, тому додаткова відносна гранична похибка зумовлена цим фактором

δМгр = ± 12 δОгр = ± 12 0,11 = ±0,055.

4.Діапазон гранично допустимих значень напруги живлення

U ж = 220 ± 4% = (220 ± 8,8)B = (211,2 − 228,8)B.

Оскільки напруга живлення приладу становить 205 В, що менше нижньої межі, але входить в діапазон 187-240 В, то зумовлена цим відносна гранична похибка

16

δЖгр = ± 12δOгг = ± 12 0,11 = ±0,055%.

5.Сумарна відносна гранична похибка вимірювання напруги

досить заокруглити до однієї або двох значущих цифр і кількість знаків після коми в написанні результату повинна відповідати кількості цих знаків у похибці. Тобто U x =U ± U гр = (500,2 ± 1,9)В .

2.2 Приклад розв’язування задачі 2

Вивести вирази абсолютної та відносної похибок опосередкованого

Відносна похибка (у відносних одиницях)

= 0,1∂X 1 + 0,5∂ X 2 − 0,1∂X 3 .

17

2.3 Приклад розв’язування задачі 3

Для отримання 12 результатів спостережень при прямих рівноточних вимірюваннях: 7,13; 6,94; 7,15; 7,31; 7,26; 7,53; 6,68; 6,59; 6,76; 7,9; 7; 6,54

визначити оцінку результату вимірювань; оцінку дисперсії та СКВ випадкових похибок окремих результатів; оцінку СКВ результату вимірювання. Оцінити довірчі границі похибки для Pдов = 0,95 . Записати результат вимірювання в

одній з форм подання.

Розв’язання

Найкращою оцінкою багаторазових прямих рівноточних вимірювань, що дає змогу зменшити вплив випадкових складових похибки вимірювання кожного окремого спостереження, є середнє значення

x= 1 å xi . n i

Незміщена оцінка дисперсії сукупності спостережених значень

Проаналізуємо чи немає серед спостережень грубих (аномальних) помилок. Сформуємо із спостережень варіаційний ряд (від найменшого значення до найбільшого) 6,54; 6,59; 6,68; 6,76; 6,94; 7,00; 7,13; 7,15; 7,26; 7,31; 7,53; 7,90.

Перевіримо крайні члени ряду на аномальність. Знайдемо співвідношення

відхилень між середньою і заданою довірчою ймовірністю, знайдемо uдоп , а

варіаційного ряду не треба розглядати як аномальні. Незміщена оцінка середньоквадратичного відхилення середнього значення

Sx = Snn = 012,4 = 0,12.

Оскільки кількість спостережень n <30, то при оцінюванні гарантійного (довірчого) інтервалу для похибки середнього доцільно скористатися не розподілом Гауса, а Стьюдента. За табл. И.1 (додаток И), що задає допустимі значення гарантійного коефіцієнта для заданої гарантійної (довірчої) ймовірності, знайдемо відповідний коефіцієнт. А саме для n=12, Pдов =0,95,

tд =2,201. Отже, результат вимірювання

x = x ± t0Sx = 7,1± 2,201×0,12 = 7,10 ± 0,26; Pдов = 0,95.

18

2.4 Приклад розв’язування задачі 4

Для оцінювання результату опосередкованого вимірювання величини

результати вимірювань X, Y взаємно незалежні. Оцінити довірчі границі похибки вимірювання U з Pдов =0,9. Записати результат.

Розв’язання

Похибку опосередкованого вимірювання відшукаємо за похибками прямих вимірювань. Зокрема, відносна похибка δU = 2δY − δ X , а абсолютна

Результати рівно точних взаємнонезалежних спостережень величин Х та Y містять випадкові похибки. Тому найкращою оцінкою кожної з безпосередньо вимірюваних величин (Х та Y) та опосередкованої величини U будуть їх середні значення, тобто

Так само пов’язані і їх незміщені оцінки

В свою чергу, дисперсія похибок кожної з усереднених величин Χ та Υ дорівнює сумі незміщеної оцінки дисперсії середнього випадкових

19