Решение типовых примеров по Заданию 1

а) 1.1. .

Решение.Сначала преобразуем подынтегральную функцию, выполнив деление, а затем воспользуемся табличными интегралами.

.

Проверка.

.

б) Как было указано выше, согласно свойства неопределенного интеграла, он не зависит от выбора переменной интегрирования, то есть, если и – дифференцируемая функция от независимой переменной , то , т.е. таблица основных интегралов справедлива независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной, или дифференцируемой функцией . Выбирая различным образом функцию можно расширить применение таблицы к непосредственному интегрированию.

Например, решают по формуле 1. Если заменить на , то получим

или , который тоже решается по формуле 1.

При интегрировании часто используют следующие преобразования дифференциала, в которых и – постоянные величины.

I. .

II. , .

III. , .

IV. – подведение функции под знак дифференциала.

Примеры:

Пользуясь этими преобразованиями дифференциала, найти:

1.2. .

Используем формулу преобразования II и табличный интеграл 5.

.

Проверка. .

в) 1.3. .

Решение. .

Проверка.

.

г) 1.4. .

Решение. .

Проверка.

.

д) 1.5. .

Решение.

.

Проверка.

.

е) 1.6.

Решение.

.

1.3.2. Метод замены переменной (метод подстановки)

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению нового интеграла, который является табличным, т.е. перейти к непосредствен-ному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.

Приведем некоторые рекомендации.

. Пусть требуется найти интеграл , причем непосредственно подобрать первообразную длямы не можем.

Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении , гденепрерывная функция, имеющая обратную производную. Тогда.

В этом случае имеет место равенство

,

Если полученный интеграл с новой переменной интегрирования будет найден, то, преобразовав результат к первоначальной переменной, получим искомое выражение.

. Если подынтегральное выражение содержит иррациональность

, , то чтобы избавиться от корня, полагают.

. Интегралы вида, гденекоторая рациональная функция, решаются подстановкой,,.

. Интегралы вида, гдерациональная функция, решаются подстановкой,.

. Интегралы видаприводятся к рациональному виду подстановкой,.

Решение типовых примеров по Заданию 2

В простых случаях (Задание 1) введение новой переменной мы выполняли в уме и находили интегралы непосредственным интегрирова-нием (введением переменной под знак дифференциала). Эти же и более сложные примеры, когда введение новой переменной в уме затруднитель-но, можно решить, применяя метод замены переменной.

2.1. .

Решение. 1-й способ (непосредственное интегрирование).

Введем под знак дифференциала

.

2-й способ(метод замены переменной).

Используем рекомендации .

.

2.2. .

Решение. Используем рекомендации .

.

1.3.3. Метод интегрирования по частям

Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.

. Интегралы типагдемногочлен,число или функция, удобно вычислять, приняв, а заобозначить все остальные сомножители, включая.

. Интегралы типаудобно вычислять, положив, а заобозначить все остальные сомножители подынтегральной функции.

. При вычислении интегралов типа,,

где ичисла, заможно принять функцию.