I. Неопределенный интеграл

1.1. Определения и свойства

Пусть дана функция . Необходимо найти такую функцию, производная которой равна, то есть.

Определение 1. Функция называется первообразной от функциина отрезкеесли во всех точках этого отрезка выполняется равенство.

Например, для функции первообразной будет потому, что .

Всякая непрерывная функция имеет бесконечное множество различных первообразных функций, которые отличаются друг от друга постоянными слагаемыми, то есть, еслиесть первообразная от функции, тоесть также первообразная от, так как. Здесьпроизвольная постоянная.

Определение 2. Совокупность всех первообразных для заданной функцииназывают неопределенным интегралом и обозначают.

Таким образом, по определению

,

если .

Функцию называют подынтегральной функцией; подынтегральным выражением;постоянной интегрирования.

Нахождение первообразной для данной функции называется интегрированием функции . Отсюда видно, что интегрирование есть действие обратное дифференцированию.

Правильность интегрирования всегда можно проверить, выполнив обратное действие, т.е. найдя производную функции, получившейся в результате интегрирования. Производная должна быть равна подынтегральной функции.

Свойства неопределенного интеграла

. Производная от неопределенного интеграла равна подынтег-ральной функции:

.

Иначе говоря, знаки производной и неопределенного интеграла взаимно уничтожаются.

.Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

.

.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

.

. Постоянный множитель можно выносить за знак неопреде-ленного интеграла:

.

.Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой из этих функций:

. Если

и произвольная функция, которая имеет непрерывную производную, то

.

Это свойство (его называют инвариантностью формулы интегриро-вания) очень важно. Оно означает, что та или иная формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, или переменная интегрирования есть независимой переменной или произвольной функцией от нее, которая имеет непрерывную производную.

1.2. Таблица основных интегралов

1. ,.

В частности, ;;;.

2. .

3. . 4..

5. . 6.. .

7. . 8..

9. . 10..

11. . 12..

13. . 14..

15. . 16..

17. . 18..

19. .

20. .

Справедливость этих формул проверяется дифференцированием.

1.3. Основные методы интегрирования

1.3.1. Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

В ряде случаев простейшие интегралы могут быть найдены путем разложения подынтегральной функции на слагаемые. Тогда в состав каждого интеграла входит постоянная интегрирования, но все они могут быть объединены в одну, поэтому при интегрировании алгебраической суммы функций пишут только одну постоянную интегрирования.