Лабораторная работа №1

Определение коэффициента вязкости жидкости методом Стокса. Исследование зависимости вязкости жидкости от температуры

Краткая теория

При движении жидкости между её слоями возникают силы внутреннего трения, действующие таким образом, чтобы уравнять скорости всех слоёв. Возникновение этих сил объясняется тем, что слои, движущиеся с разными скоростями, обмениваются молекулами. Молекулы из более быстрого слоя передают импульс молекулам более медленного, вследствие чего медленный слой начинает двигаться быстрее. Молекулы из более медленного слоя получают импульс в быстром слое, что приводит к его торможению.

Рассмотрим жидкость, движущуюся в направлении оси Х (рис.1). Пусть слои жидкости движутся с разными скоростями. На оси Z возьмём две точки, находящиеся на расстоянии dz. Скорости потока отличаются в этих точках на величину dυ. Отношение характеризует изменение скорости потока в направлении оси Z и называется градиентом скорости.

Сила внутреннего трения (сила вязкости), действующая между двумя соприкасающимися слоями, пропорциональна площади их соприкосновения и модулю градиента скорости:

.

Величина η называется коэффициентом динамической вязкости (внутреннего трения) или просто вязкостью. Коэффициент вязкости – это свойство текучей среды оказывать сопротивление перемещению одного её слоя относительно другого. Исходя из формулы, коэффициент динамической вязкости численно равен силе внутреннего трения, возникающей на единице поверхности соприкосновения двух слоёв, движущихся один относительно другого с градиентом скорости, равным единице. В системе СИ коэффициент вязкости имеет размерность Па·с.

На всякое тело, движущееся в вязкой жидкости, действует сила сопротивления. В общем случае величина этой силы зависит от многих факторов: от формы тела, от вязкости жидкости, от характера обтекания и т. д. Стоксом было установлено, что при ламинарном обтекании тел безграничной жидкостью (т. е. когда сопротивление среды обусловлено практически только силами трения) модуль силы сопротивления определяется формулой:

, (1)

где υ – скорость движения тела, l – его характерный размер, k – безразмерный коэффициент, зависящий от формы тела.

Гидродинамический вывод формулы (1) довольно сложен. Однако для получения нужного результата можно ограничится анализом задачи с помощью теории размерностей. Прежде чем применять теорию размерностей, установим, исходя из физических соображений, от каких параметров может зависеть сила сопротивления жидкости. В нашем случае, очевидно, такими параметрами являются η, υ, l и плотность жидкости ρ_ж. Тогда, искомый закон следует искать в виде следующего степенного соотношения:

, (2)

где x, y, z и α – подлежащие определению показатели степени. Они определяются требованием совпадения размерностей левой и правой частей последнего равенства. Поскольку размерность выражения определяется степенями при длине, времени и массе, мы получаем три уравнения для нахождения четырёх неизвестных x, y, z и α. Поставленная таким образом задача однозначного решения не имеет. Опыт показывает, что при больших скоростях движения (точнее говоря, при больших числах Рейнольдса) сила сопротивления пропорциональна второй, а при малых скоростях (малых числах Рейнольдса) – первой степени скорости. Таким образом, при достаточно медленном движении можно положить α = 1. Приравнивая показатели степени при массе, длине и времени в левой и правой частях уравнения, получим систему трёх уравнений с тремя неизвестными, результатами решения которой являются: x = 1, y = 1, z = 0. Подставив полученные числа в соотношение (2), получим (1).

В случае ламинарного обтекания шарика безграничной жидкостью Стоксом аналитически была получена формула:

,

где r – радиус шарика. Как видно из последней формулы, коэффициент пропорциональности k в случае шарика равен 6π.

Выведем уравнение движения произвольного тела, описывающее его свободное падение внутри вязкой жидкости. Для выполнения поставленной задачи запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вертикально вниз (рис. 2):

, (3)

где m – масса тела, g – ускорение свободного падения, F_A – сила Архимеда. Введём плотность тела ρ и его объём V. Исходя из очевидных соотношений m = ρV, F_A = ρgV, применяя формулу (1), из уравнения (3) получим:

.

Решая последнее уравнение, найдём:

. (4)

В формуле (4) приняты обозначения: υ₀ – начальная скорость шарика в жидкости,

, . (5)

Из формулы (4) следует, что скорость падающего тела экспоненциально приближается к установившейся скорости υ_уст. То, насколько быстро установится эта скорость, определяется величиной τ, имеющей размерность времени и называющейся временем релаксации. Если время падения в несколько раз больше времени релаксации, то процесс установления скорости можно считать закончившимся.

В данной лабораторной работе в качестве падающих тел будут использоваться шарики. Для шариков (учтя, что l = r и V = 4/3πr³) формулы (5) примут вид:

, . (6)

Измеряя на опыте установившуюся скорость падения шариков υ_уст, можно определить вязкость жидкости по формуле, следующей из (6):

. (7)

Обладая способом экспериментального определения коэффициента вязкости, можно исследовать его зависимость от внешних факторов, в частности, от температуры. Достаточно очевидно, что при повышении температуры вязкость жидкостей уменьшается. Для более детального изучения этого вопроса нам понадобится рассмотреть молекулярное строение жидкости.

В газах молекулы движутся хаотично, в их расположении отсутствует порядок. В кристаллических твёрдых телах частицы колеблются около определённых положений равновесия – узлов кристаллической решётки. В жидкостях, как и в кристаллах, каждая молекула находится в потенциальной яме электрического поля, создаваемого окружающими молекулами. Молекулы колеблются со средней частотой, близкой к частоте колебаний атомов в кристаллических телах (порядка 10¹² Гц) и с амплитудой, определяемой объёмом, предоставленным ей соседними молекулами. Глубина потенциальной ямы в жидкостях больше средней кинетической энергии колеблющейся молекулы, поэтому молекулы колеблются вокруг более или менее стабильных положений равновесия. Однако, у жидкостей различие между этими двумя энергиями невелико, так что молекулы нередко выскакивают из своей потенциальной ямы и занимают место в другой.

Для того чтобы перейти в новое состояние, молекула должна преодолеть участки с потенциальной энергией, превышающей среднюю тепловую энергию молекул. Для этого тепловая энергия молекул должна – вследствие флуктуации – увеличиться на некоторую величину W, называемую энергией активации. Чем больше энергия активации, тем реже случаются переходы молекул из одного положения равновесия в другое.

Отмеченный характер движения молекул объясняет как медленность диффузии в жидкостях, так и большую (по сравнению с газами) их вязкость. В основе явления вязкости лежит перенос молекулами импульса вследствие теплового движения. Для того чтобы привести в движение молекулу жидкости необходимо (из за наличия потенциальной ямы) передать ей больший импульс, чем в случае с молекулой газа. Однако, количество молекул, имеющих энергии больше W, в соответствии с формулой Больцмана, экспоненциально зависит от W. Чем меньше будет разница между энергией активации и кинетической энергией одной молекулы, тем больше будет количество тех, на которые не нужно затрачивать дополнительную энергию, чтобы вывести их из потенциальной ямы. С повышением температуры количество подобных молекул будет возрастать, следовательно, вязкость жидкости будет уменьшаться. Температурная зависимость вязкости жидкости выражается формулой:

. (8)

Формула (8) является логическим обобщением всего выше сказанного.

Если принять, что при некоторой температуре T₀ коэффициент вязкости имеет значение η₀, то справедлива следующая запись:

, или

. (9)

Если построить на графике зависимость величин ln(η₀/ η ) и друг от друга, то согласно формуле (9) должна получиться прямая линия, по угловому коэффициенту которой можно определить энергию активации молекулы W исследуемой жидкости.