6. Токи в вакууме ограниченные пространственным зарядом. Закон «трех вторых»

При больших плотностях тока термоэлектронной эмиссии на вольт-амперную характеристику существенное влияние оказывает объемный отрицательный заряд, возникающий между катодом и анодом. Этот объемный отрицательный заряд препятствует достижению вылетевшим из катода электронам анода. Таким образом, ток анода оказывается меньше, чем ток эмиссии электронов с катода. При приложении к аноду положительного потенциала дополнительный потенциальный барьер у катода, создаваемый объемным зарядом, понижается и анодный ток растет. Такова качественная картина влияния пространственного заряда на вольт-амперную характеристику термодиода. Теоретически этот вопрос был исследован Ленгмюром в 1913 г.

Вычислим при ряде упрощающих предположений зависимость тока термодиода от приложенной между анодом и катодом внешней разности потенциалов и найдем распределение поля, потенциала и концентрации электронов между анодом и катодом при учете пространственного заряда.

Рис. 14. К выводу закона "трех вторых"

Допустим, что электроды диода плоские. При небольшом расстоянии между анодом и катодом dих можно считать бесконечно большими. Начало координат поместим на поверхности катода, а осьXнаправим перпендикулярно этой поверхности в сторону анода (рис. 14). Температуру катода будем поддерживать постоянной и равнойТ. Потенциал электростатического поляj, существующего в пространстве между анодом и катодом, будет функцией только одной координатых. Он должен удовлетворятьуравнению Пуассона

, (20)

здесь r– объемная плотность заряда;n– концентрация электронов;j,rиnявляются функциями координатых.

Учитывая, что плотность тока между катодом и анодом

а скорость электрона vможно определить из уравнения

,

где m– масса электрона, уравнение (20) можно преобразовать к виду

, . (21)

Это уравнение надо дополнить граничными условиями

, . (22)

Эти граничные условия следуют из того, что потенциал и напряженность электрического поля у поверхности катода должны обращаться в нуль. Умножая обе части уравнения (21) на dj/dx, получим

. (23)

Учитывая, что

(24а)

и , (24b)

запишем (23) в виде

. (25)

Теперь можно проинтегрировать обе части уравнения (25) по хв пределах от 0 до того значенияx, при котором потенциал равенj. Тогда, учитывая граничные условия (22) получим

(26)

или

. (27)

Интегрируя обе части (27) в пределах от х=0,j=0 дох=1,j=V_a, получим

. (28)

Возведя обе части равенства (28) в квадрат и выражая плотность тока jизасогласно (21), получим

, (29)

где

. (30)

Формула (29) называется "законом трех вторых" Ленгмюра.

Этот закон справедлив для электродов произвольной формы. От формы электродов зависит выражение для численного коэффициента. Полученные выше формулы позволяют вычислить распределения потенциала, напряженности электрического поля и плотности электронов в пространстве между катодом и анодом. Интегрирование выражения (26) в пределах от х=0 до того значения, когда потенциал равенj, приводит к соотношению

, (31)

т.е. потенциал меняется пропорционально расстоянию от катода хв степени 4/3. Производнаяdj/dxхарактеризует напряженность электрического поля между электродами. Согласно (26), величина напряженности электрического поляЕ~х^1/9. Наконец, концентрация электронов

(32)

и, согласно (31) n(x)~ (1/x)^2/9.

Рис 15. Влияние объемного заряда на распределение потенциала между анодом и катодом при разных значениях анодного напряжения

Зависимости j(х),Е(х) иn(х) приведены на рис. 15. Еслих→0, то концентрация устремляется к бесконечности. Это является следствием пренебрежения тепловыми скоростями электронов у катода. В реальной ситуации при термоэлектронной эмиссии электроны покидают катод не с нулевой скоростью, а с некоторой конечной скоростью эмиссии. В этом случае анодный ток будет существовать даже в том случае, если вблизи катода имеется небольшое обратное электрическое поле. Следовательно, объемная плотность заряда может измениться до таких значений, при которых потенциал вблизи катода уменьшится до отрицательных значений (рис 16). При увеличении анодного напряжения минимум потенциала уменьшается и приближается к катоду (кривые 1 и 2 на рис. 16). При достаточно большом напряжении на аноде минимум потенциала сливается с катодом, напряженность поля у катода становится равной нулю и зависимостьj(х) приближается к (29), рассчитанной без учета начальных скоростей электронов (кривая 3 на рис. 16). При больших анодных напряжениях пространственный заряд почти полностью рассасывается и потенциал между катодом и анодом меняется по линейному закону (кривая 4, рис. 16).

Рис 16. Влияние объемного заряда на распределение потенциала между анодом и катодом

Рис.17. Распределение потенциала при расчете плотности тока по формуле (33)

Таким образом, распределение потенциала в межэлектродном пространстве при учете начальных скоростей электронов значительно отличается от того, который положен в основу идеализированной модели при выводе закона "трех вторых". Это приводит к изменению и зависимости плотности анодного тока. Расчет, учитывающий начальные скорости электронов, для случая распределения потенциала, показанного на рис. 17, и для цилиндрически электродов дает следующую зависимость для полного тока термоэлектронной эмиссии I(I=jS, гдеS– площадь поперечного сечения термотока):

. (33)

Параметры x_mиV_mопределяются видом зависимостиj(х), смысл их понятен из рис. 17. Параметрх_mравен расстоянию от катода, на котором потенциал достигает своего минимального значения =V_m. МножительC(x_m), кромеx_m, зависит от радиусов катода и анода. Уравнение (33) справедливо при небольших изменениях анодного напряжения, т.к. их_mиV_m, как это обсуждалось выше, зависят от анодного напряжения.

Таким образом, закон "трех вторых" не имеет универсального характера, он справедлив лишь в сравнительно узком интервале напряжений и токов. Однако он является наглядным примером нелинейного соотношения между силой тока и напряжением электронного прибора. Нелинейность вольт-амперной характеристики является наиболее важной особенностью многих элементов радио- и электротехнических схем, включая элементы твердотельной электроники.