Структуры с одиночной и множественными квантовыми ямами

3. параметры Латтинджера, через которые рассчитывается эффективные массы легких и тяжелых дырок. В данной задаче нам достаточно первых двух параметров

γ1(x) =6,98−3,22 x,

γ2 (x)=2,06−1,24 x.

Через данные параметры эффективные массы легких и тяжелых дырок выражают-

ся:

Задача решается в К-представлении. Потенциальная энергия представляет собой периодически повторяющуюся прямоугольную яму, образованную разрывами зон проводимости для электронов и валентных зон для дырок

∆Ev =b ∆Ec ,

m

m

Уравнение Шредингера в К-представлении

∑Hm,n (k)An (k)=E(k)Am (k) .

n

Уравнение решается таким же способом, как и в координатном представлении. Разница лишь в том, что для построения графиков необходим переход от К- к Х- координатам.

Указания к выполнению работы

87

1.Определить влияние изменения ширины прямоугольной потенциальной ямы на положение энергетических уровней и вид волновых функций.

2.Определить влияние изменения расстояния между прямоугольными потенциальными ямами на положение энергетических уровней и вид волновых функций.

3.Увеличивая число ям, проследить, как постепенно формируются три нижние зоны разрешенных значений энергии.

4.Меняя параметры сверхрешетки, определить их влияние на положение энергетических уровней и вид волновых функций.

88

Приложения к лабораторной работе 1

89

Лабораторная работа 2 ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЗОНАНСНОГО ТУННЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ

ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ БАРЬЕРЫ

Цель работы: изучение эффекта резонансного туннелирования электронов через прямоугольные потенциальные барьеры, определение резонансных значений энергии туннелирования.

Теоретические сведения

При анализе всевозможных кинетических явлений в гетероструктурах часто возникает необходимость определения коэффициентов прохождения и отражения электронов и дырок, распространяющихся в направлении перпендикулярном плоскостям интерфейсов. Определение этих коэффициентов сводится к расчёту волновых функций непрерывного спектра.

Рассмотрим одномерное движение электронов (дырок) в произвольном потенциальном поле U (z), зависящем от геометрии гетероструктуры, величины разрыва зон, а также внешних электрических полей. Для простоты будем рассматривать невырожденную зону Γ1 и пренебрежём интерфейсными поправками. Соответствующее эффективное уравнение Шредингера имеет вид:

− 2 d 2F2(z)+U (z)F (z)= EF (z) 2m dz

Разобьем рассматриваемое одномерное пространство на р+1 областей шириной ∆z (рис. 1). Присвоим каждой области номер n, если она располагается в промежутке между координатами zn и zn+1.

∆z

Рис. 1. Схема дискретизации одномерного пространства

Если ∆z достаточно мало, то в каждой из областей потенциал U (z) можно считать постоянным и равным U (zn ), где zn = n∆z . Решение уравнение Шредингера

94

для огибающей функции F (z) и её производной F′(z) в n-ой области пространства при заданной энергии Е имеет вид:

Fn (z)= An cos kn (z − zn ) + Bn sin kn (z − zn ) ,

Fn′ (z)= kn {−An sin kn (z − zn ) + Bn cos kn (z − zn ) }, где kn = 2m E −U (zn ) / .

Аналогично для n+1 области получим:

Fn+1 (z)= An+1 cos kn+1 (z − zn+1) + Bn+1 sin kn+1 (z − zn+1) ,

Fn′+1 (z)= kn+1{−An+1 sin kn+1 (z − zn+1) + Bn+1 cos kn+1 (z − zn+1) }.

Волновые функции и их производные на границе этих областей, т.е. в точке zn+1, должны удовлетворять граничным условиям:

Fn+1 (zn+1)= Fn (zn+1),

Fn′+1 (zn+1)= Fn′ (zn+1).

Отсюда следует, что

An+1 = An cos[kn∆z]+ Bn sin[kn∆z],

kn+1Bn+1 = kn {−An sin[kn∆z]+ Bn cos[kn∆z]}

Введя обозначение knBn = Cn , получим следующую матричную связь между к о- эффициентами А и С в двух областях:

- матрица переноса из слоя n в слой n+1. Аналогичным образом можно получить, что:

95

Следовательно, волновая функция и её производная могут быть определены в любой наперёд заданной области с номером n, если заданы их значения в области с n=0, т.е.

где

T (n) = ∏1 Tm−1 m=n

Рассмотрим единичный поток электронов с энергией Е, распространяющийся в положительном направлении оси z и падающий на гетероструктуру, расположенную в области между точками z1 и z p−1. За начало отсчёта энергии выберем значение по-

тенциала в области с n=0, т.е. положим U (z0 )= 0 . Кроме того будем считать

U (z p )≤ 0 так, что часть потока может беспрепятственно туннелировать через гете-

роструктуру, не отразившись от её гетерограниц. Полагая z0 = 0 , запишем решение

уравнения Шредингера в нулевой области в виде суммы двух волн: падающей с ампл и- тудой, равной единице, и отражённой:

F0 (z)= eik0z + re−ik0z ,

F0′(z)= ik0 eik0z −re−ik0z

здесь r – амплитудный коэффициент отражения, k0 = 2m E / . Далее получа-

ем:

A0 =1+ r

C0 = ik0 (1−r)

Решение в р-ой области должно иметь вид прошедшей волны:

Fp′ (z)= itk0k p eik0z

где t – амплитудный коэффициент прохождения. Далее находим:

96

Cp = ik0k p eik pzp t,

где z p = p∆z . С другой стороны элементы столбца A0 , C0 и Ap , Cp связаны между собой матричным уравнением:

где T ( p) = ∏1 Tm−1 , которое позволяет выразить коэффициенты r и t через матрич- m=p

ные элементы матрицы переноса Tij( p) :

r = −k pT11( p) −ik pk0T12( p) −iT21( p) +k0T22( p) k pT11( p) −ik pk0T12( p) +iT21( p) +k0T22( p)

2 k pk0 (T ( p)T ( p) −T ( p)T ( p) )

t = 11 22 12 21 e−ik p p∆z k pT11( p) −ik pk0T12( p) +iT21( p) +k0T22( p)

Полученные формулы позволяют вычислить r и t как функции энергии падающих электронов Е и определить коэффициенты отражения R (E)= r (E)2 и прохождения T (E)= t (E)2, удовлетворяющие условию R (E)+T (E)=1.

Указания по выполнению работы

1.Меняя параметры потенциального барьера исследовать эффект туннелирования электронов через одиночный потенциальный барьер.

2.Изменяя параметры потенциальных барьеров, найти оптимальное отношение параметров для наибольшей вероятности туннелирования электронов.

3.Сделать выводы о проделанной работе.

97

Приложения к лабораторной работе 2

98

Лабораторная работа 3 ЕМКОСТНАЯ ДИАГНОСТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ КВАНТОВО-

РАЗМЕРНЫХ СТРУКТУР

Цель работы: получение представлений о емкостном методе исследования кван- тово-размерных структур, определение их наличия в исследуемом образце по виду вольт-фарадной характеристики.

Основные сведения

Приборы современной наноэлектроники создаются на базе сложных многослойных полупроводниковых гетероструктур, в состав которых могут входить десятки нанометровых слоев. Одним из важнейших критериев качества наноструктуры является правильность ее функционирования, что обеспечивается соответствием реальной и расчетной электронных систем структуры с гетеропереходами.

В этой работе исследуется метод емкостной диагностики. Он позволяет осуществлять неразрушающий контроль качества квантово-размерных структур. Диагностика структуры заключается в определении по вольт-фарадным характеристикам ее электрофизических параметров, таких как распределение концентрации свободных носителей заряда и легирующей примеси, положение энергетических уровней квантования, разрыв энергетических зон и др.

Рассмотрим типичную C-V-характеристику гетероструктуры с квантовой ямой (рис. 1, а) в координатах C-2(V). На ней наблюдается почти горизонтальное плато в определенном диапазоне обратных напряжений ,что является характерным признаком наличия квантовой ямы или слоя квантовых точек. Причина появления плато объясняется тем, что увеличивающаяся с приложенным смещением область объемного заряда пересекает своей границей область обогащения основными носителями заряда, связанную с

Рис. 1. Вольт-фарадная характеристика (а) и распределение концентрации (б) в

изотипной гетероструктуре с квантовой ямой InxGa1-xAs/GaAs (0.065<x<0.3)

квантовой ямой. Вблизи границ квантовой ямы наблюдается снижение концентрации (рис. 1, б), т.е. существует область, обедненная носителями, ушедшими в квантовую яму. Размер этой области примерно оценивается дебаевской длиной экранирования:

101

где - диэлектрическая проницаемость, n – концентрация подвижных носителей. Барьерная емкость гетероперехода определяется исходя из формулы :

где n – концентрация свободных носителей, V – изгиб зон (включает встроенный потенциал и приложенное смещение). Дифференцирование этой зависимости позволяет получить формулу для распределения концентрации по глубине образца x (S – площадь перехода):

где x определяется из формулы плоского конденсатора:

Метод обладает высокой чувствительностью к изменению заряда, и поэтому возможно чувствительное измерение разрывов зон и ширины квантовых ям. Однако это требует достаточно сложного численного моделирования вольт-фарадных характеристик с учетом многих эффектов, таких как пространственное ограничение (связано с соотношением размеров квантовых ям и де-бройлевской длины волны носителей).

Измерительная установка

В качестве измерительного устройства используется измеритель иммитанса МНИПИ Е7-20. Внешний вид прибора приведен на рис. 2.

Рис. 2. Внешний вид измерителя иммитанса МНИПИ Е7-20

Иммитанс – термин, объединяющий понятия адмиттанса (Y, комплексной проводимости) и импеданса (Z, комплексного сопротивления). Уравновешивание измерительной (мостовой) схемы в приборе осуществляется одновременно по емкостной и активной составляющим Y:

102

На рис. 5 изображены векторы Uн, Uт и опорного вспомогательного напряжения с произвольной фазой. Проекции Uн и Uт на опорное напряжение Uоп и jUоп выделяются синхронным детектором и измеряются в некотором произвольном масштабе измерителем интегрирующего типа.

Рис. 5. Векторная диаграмма формируемых и опорных напряжений

Из соотношения

где G – активная, B – реактивная проводимости; a, b, c, d – проекции измеряемых напряжений Uн и Uт на опорное Uоп и jUоп, можно получить выражения для составляющих проводимости:

Аналогично из

где R – активное, X - реактивное сопротивления:

Интерфейсное устройство RS-232C обеспечивает возможность подключения измерителя к компьютеру (через COM-порт).

Программное обеспечение (см. рис. 6) автоматизирует процесс измерения вольтфарадных характеристик, сохраняет результаты в удобном для обработки виде. Для запуска измерений нужно ввести параметры: вид измерений, диапазон напряжений, пауза на релаксацию, усреднение, параметры измерительного сигнала.

104

Рис. 7. Переходные процессы при изменении напряжения смещения.

106

•Конечное значение: 4 В;

•Пауза на релаксацию: 3 сек;

9)Нажмите кнопку «В серию». Измерение занесено в серию, что показано в появившемся окне. Нажмите в нем «Закрыть».

10)Снова установите параметры эксперимента (для новой серии):

•Усреднять значений: 7;

Диапазон напряжений:

•Начальное значение – 4.2 В;

•Конечное значение – 10 В;

•Пауза на релаксацию – 5 сек.

Примечание: Прибор изменяет значение смещения в разных диапазонах на разную величину (от 0 до 4 В – через 0.02 В, от 4 до 10 В – через 0.2 В). При большом шаге изменения релаксационный процессы происходят дольше.

11)Нажмите на кнопку «В серию». Теперь в появившемся окне присутствует две записи – ваши эксперименты. Нажмите в этом окне кнопку «Измерение».

12)Пока прибор выполняет снятие вольт-фарадных характеристик Образца 2, откройте в Microsoft Excel файл, созданный по результатом измерения Образца 1. На вопрос, задаваемый MS Excel ответьте «Да».

13)Постройте график вольт-емкостной зависимости в координатах C-2(V). (В соответствующие ячейки нужно ввести формулы. Например, «=B5^-2» без кавычек).

14)Пользуясь формулой распределения концентрации носителей по глубине образца:

постарайтесь качественно проанализировать полученный график. Какое распределение носителей в исследуемом образце?

15)По завершении прибором измерений (обоих экспериментов из серии) с помощью кнопок «Стрелка влево» и «Стрелка вправо» на панели прибора установите значение смещения 0В.

16)Подключите Образец 2 таким образом, чтобы на него подавались прямые смещения (поменяйте клеммы местами).

17)Выполните измерения аналогично п. 4 в диапазоне напряжений 0-2.5 В, с паузой на релаксацию 3 сек, усреднением 5 значений.

18)По окончании эксперимента сохраните результаты последних трех экспериментов (2 – в обратных смещениях, 1 – в прямом), выбрав «Измерения

– Сохранить результат». В появившемся окне выделите нужные эксперименты и нажмите «Сохранить».

108

19)Закройте программу, выключите измеритель Иммитанса.

20)Отчет должен содержать вольт-фарадную характеристику Образца 2 в исследованном диапазоне (от -10 В до 2.5 В), рассчитанный профиль концентрации. Необходимые для расчета параметры образца узнайте у преподавателя.

Примечание: анализ данных и построение профиля концентрации следует проводить в математическом пакете MathCad. Ввод измеренных данных в него осуществляется следующим образом:

•В главном меню выбрать «Insert - Component»;

•Из появившегося списка выбрать «Microsoft Excel»;

•Create from file (ввести путь к файлу);

•Inputs=0, Outputs=2, указать диапазоны ячеек, соответствующие напряжению и емкости.

•Ввести имена переменных MathCad (например, U и С).

•Для интерполяции функций можно пользоваться функциями cspline и interp (см. описание в Help).

•Численное дифференцирование проводится после сглаживания шумов. Для сглаживания удобно использовать ksmooth (см. описание в Help). Параметр b выбирается таким образом, чтобы шумы не давали значительных флуктуаций производной, а перегибы вольт-фарадной характеристики значительно не изменились.

109

Лабораторная работа № 4. МЕЛКИЕ ВОДОРОДОПОДОБНЫЕ ДОНОРНЫЕ УРОВНИ В КВАНТОВЫХ ЯМАХ

Цель работы: исследование энергетического спектра водородоподобной примеси, моделирование спектра водородоподобной примеси, находящейся в квантовой яме

AlxGa1–xAs/GaAs.

1. Теоретические сведения

1.1 Водородоподобная примесь

В лабораторной работе проводится исследование энергетического спектра водородоподобной примеси в кристаллической решетке полупродникового материала. Примесь считается

1.мелкой, то есть глубина ее залегания существенно меньше ширины запрещенной зоны образца,

2.однократно ионизованной,

3.являющейся примесью по типу замещения.

Таким образом, ионизованный электрон примеси находится в поле положительно заряженного остова, а также кристаллическом поле полупроводника. Кулоновское поле экранируется, так как между электроном и центром располагается среда. При большом радиусе связи, что справедилоиво для мелких примесей, влияние среды может быть учтено введением диэлекрической проницаемости. Пренебрегая атомным строением, можно считать ее равной макроскопической диэлекрической проницаемости ε . Можно показать [3], что боровский радиус для донора в GaAs (в СГС)

ме, охватываемом характеристическим размером системы, находится несколько тысяч узлов кристаллической решетки, что делает правомочным введение макроскопической диэлекрической проницаемости.

Легко видеть, что кулоновский потенциал, действующий на электрон в твердом теле, выглядит как

U (x)= − e2 .

ε x

110

к уравнению для огибающей, но с тем же спектром собственных значений энергии:

Решение задачи для такого вида потенциала хорошо известно – это атом водорода. Единственным отличием является наличие диэлекрической проницаемости и эффективной массы. Таким образом, дискретный спектр мелкой водородоподобной примеси в кристаллической решетке полупродникового материала записывается, исходя из известного спектра атома водорода:

En = − Rn2 ,

1.3 Квантовая яма

Помещение донорной примеси в потенциальную яму вызывает изменение энергетического спектра. Электрон в твердом теле находится под влиянием потенциала ямы и кулоновского потенциала, создаваемого положительно заряженным остовом.

Задача о нахождении энергетического спектра электрона в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками шириной a имеет точное решение:

En = π2 2n2 , где n = 0, 1, 2, ...

2ma2

При добавлении кулоновского потенциала уже невозможно получить точное решение и нужно использовать другие методы решения. Применение вариационного метода позволяет свести трехмерную задачу с кулоновским потенциалом к одномерной задаче с эффективным потенциалом, вдоль оси, перпендикулярной к плоскости квантовой ямы.

112

Значит, варьируя некий параметр a , от которого будет зависеть Fn(x)

лять степенью приближения волновых функций к точным. Следовательно, значение функционала стремится к точному значению энергии при оптимальном значении a , таком, что

∂∂a En = 0 .

Соответствующее значение ему функционала будет искомым уровнем энергии.

2. Указания к работе

Расчет исследуемых энергетических спектров производится в программе Mathcad.

Энергия выражается в естественных единицах задачи – Ридбергах R , длина – в единицах радиуса Бора задачи.

1.Включите компьютер, дождитесь загрузки операционной системы

2.Запустите Mathcad

3.Откройте указанный преподавателем файл

4.Следуйте указаниям в тексте

5.Сохраните результаты работы

6.Выйдите из Mathcad, выключите компьютер

3.Требования к отчету

Вотчете по лабораторной работе должны быть приведены:

1.Вывод единиц измерения и обезразмеривание

2.Уровней первых двух связанных состояний для мелкой водородоподобной примеси при отсутствии потенциала квантовой ямы

3.Уровни первых двух связанных состояний для мелкой водородоподобной примеси в квантовой яме AlxGa1–xAs/GaAs, x=0,3

4.Зависимости положения энергетических уровней от ширины квантовой ямы

5.Зависимости положения энергетических уровней от глубины квантовой ямы

6.Зависимости положения энергетических уровней от сдвига примесного центра относительно середины квантовой ямы

114

Лабораторная работа 5 РАСЧЕТ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА И ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ ЭЛЕК-

ТРОНА В КВАНТОВЫХ ТОЧКАХ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ

Цель работы: ознакомиться со методами расчета энергитческого спектра и волновых функций электронов в квантовых точках различной формы в k- и узельном представлениях.

Основные сведения

1. Уравнение Шредингера в матричной форме

Интегральное уравнение в k-представлении в методе эффективной массы имеет

вид:

для изотропного материала:

В этом уравнении k является параметром, поэтому для различных k можно записать систему уравнений:

В матричной форме полученная система уравнений будет являться задачей на поиск собственных чисел и собственных векторов матрицы

Для определения потенциальной энергии Vвн (k −k ') используем Фурьепреобразование для функции, заданной в дискретных точках:

Vвн (k −k ') = ∑a Vвн(a) exp(−i(k −k ') a)

Аналогично расчету в k-представлении, можно проводить расчет в узельном представлении

∑a ' T (a −a ') F(a ') +Vвн (a) F(a) = E F(a)

116

Тогда задача сводится к поиску собственных чисел и собственных столбцов следующей матрицы:

H (a −a ') = T (a −a ') +Vвн (a)δaa '

Здесь, однако, надо производить обратное Фурье-преобразование для кинетической энергии:

T (a −a ') = ∑ 2k2 exp(ik (a−a '))

k 2m*

2. Размер расчетной области

Для бесконечного кристалла число точек x бесконечно, а k непрерывно, поэтому все матрицы бесконечны. Однако на практике для расчета обычно используют ограниченные кристаллы, и волновой вектор k принимает

дискретные значения. При этом:

3. Прямая и обратная решетки

В обычно рассматриваемых кристаллах прямая решетка является кубической ГЦК решеткой. Вектора прямой ГЦК решетки имеют вид:

a1 = a20 (1 1 0) a2 = a20 (1 0 1) a3 = a20 (0 1 1),

где a0 – период решетки, a0 2 – ширина монослоя (расстояние между слоями атомов). Вид ГЦК решетки (в единицах монослоя) представлен на рис. 2.

117

2.Установить переключатель «вид КТ» в значение «Куб»

3.Задавая различные значения размера куба, смотреть, как от этого меняется набор энергетических уровней и волновые функции

4.Задать размер куба X0=Y0=Z0=0 и получить значения энергии и вид волновой функции для квантовой точки из одного атома: E= –4,8732

Энергии первого связанного состояния и волновая функция электрона (поверхность равных вероятностей) для квантовой точки, содержащей один атом. Здесь и далее энергия измеряется в относительных единицах.

119

5.Задать размер куба X0=Y0=Z0=1 и получить значения энергии и вид волновых функций первых девяти связанных состояний для квантовой точки из 13 атомов:

Энергии связанных состояний и волновые функции электронов (поверхности равных вероятностей) для квантовых точек кубической формы:

E= –8.142054

E= –6.333152, –6.333149, –6.333146

120

E= –4.618686, –4.618685, –4.618684

E= –3.343652, –3.343642

Расчет сферической КТ

6.Установить переключатель «вид КТ» в значение «Сфера»

7.Задавая различные значения радиусы сферы, смотреть, как от этого меняется набор энергетических уровней и волновые функции

8.Задать радиусы сферы R1=R2=0 и получить значения энергии и вид волновой функции для квантовой точки из одного атома: E= –4,8732; волновые функции совпадают с п. 4.

9.Задать радиусы сферы R1=1 R2=2 и получить значения энергии и вид волновых функций первых шести связанных состояний для квантовой точки из 18 атомов:

121

Энергии связанных состояний и волновые функции электронов (поверхности равных вероятностей) для квантовых точек сферической формы:

122

E= –5.619666, –5.619663

Расчет пирамидальной КТ

10.Установить переключатель «вид КТ» в значение «Пирамида»

11.Задавая различные значения высоты пирамиды, смотреть, как от этого меняется набор энергетических уровней и волновые функции

12.Задать высоту пирамиды H=0 и получить значения энергии и вид волновой функции для квантовой точки из одного атома: E=–4,8732; волновые функции совпадают с п. 4 и п.8.

13.Задать высоту пирамиды H=3 и получить значения энергии и вид волновых функций первых шести связанных состояний для квантовой точки из 42 атомов:

Энергии связанных состояний и волновые функции электронов (поверхности равных вероятностей) для квантовых точек пирамидальной формы:

124

E= –8.707678

E= –7.839383, –7.839382

E= –7.299672

125

E= –7.168247

E= –6.767927

126

E= –6.540472

E= –6.482579, –6.482578

127

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВ АНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет “ЛЭТИ” им. В.И. Ульянова (Ленина)»

(СПбГЭТУ)

ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ по дисциплине

«НАНОЭЛЕКТРОНИКА»

Для подготовки бакалавров по направлению – «Нанотехнология»

Профиль – «Нанотехнологии для систем безопасности»

Санкт – Петербург

2010