где εn1 — энергия размерного квантования.

Если квантовые ямы периодически продолжить вдоль направления, перпендикулярного интерфейсу, с периодом D, то мы приходим к новой квантово-размерной структуре — одномерной сверхрешетке (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Энергетическая диаграмма одномерной сверхрешетки. Заштрихованные области соответствуют разрешенным значениям энергий для электронов и дырок.

Наличие барьеров конечной высоты и протяженности дает возможность электронам и дыркам туннелировать из одной ямы в другую. В результате чего их дискретные уровни расщепляются в так называемые минизоны. Наличие трансляционной симметрии вдоль направления роста сверхрешетки (направление х1) приводит к появлению дополнительного непрерывного квантового числа — сверхрешетчатого волнового вектора К1 (-π/D > К1 ≥ π/D). Таким образом, энергетический спектр носителей заряда в одномерной сверхрешетке будет состоять из чередующихся полос разрешенных и запрещенных энергий:

Энергетический спектр и волновые функции электронов и дырок в полупроводниковых гетероструктурах

Нахождение энергетического спектра и волновых функций осуществляется решением стационарного уравнения Шредингера:

Hˆψ(x) = Eψ(x) ,

гамильтониан которого имеет вид

Hˆ =Tˆ +U (x),

82

где Tˆ - оператор кинетической энергии, U (x) - потенциальная энергия. Кинетическая энергия представляет собой

Tˆ = pˆ 2 = − 2 2 ,

2m0 2m0

где =∂∂x - оператор дифференцирования по координате х. Уравнение решается в приближении эффективной массы.

Приближение эффективной массы

Приближение эффективной массы, или метод огибающих функций, используется в случаях, когда рассматривается движение электрона во внешнем и кристаллическом полях. Гамильтониан такой системы будет иметь вид

Hˆ = 2pˆ 2 +U (x) +VBH (x), m0

где U(x) – кристаллический потенциал, обладающий периодичностью

U (x +a) =U (x) ,

а Vвн(x) – потенциал внешнего поля, плавно меняющийся в пределах ячейки. Предполагается, что известно решение уравнения Шредингера без воздействия

внешнего поля

ψ(x) =∑nk Fn (k )ψnk (x)

Точное решение ищем в виде суммы решений нулевого приближения. Искомое состояние формируется только первой зоной вблизи экстремума

ψk (x) =(1V )eikxuk (x) - блоховская нормированная волновая функция.

Произведем замену k на k’ и наоборот.

83

E(k )F(k ) +∑F(k ') ∫ψk (x)Vвн (x)ψk ' (x)dx = E F(k )

k '

Далее преобразуем интеграл.

∫ψk (x)Vвн (x)ψk ' (x)dx =V1 ∫Vвн (x) e−i(k −k ')xuk *(x)uk '(x)dx

Произведение двух периодических функций также является периодической. Ее можно разложить в ряд Фурье.

f (x) =uk *(x)uk ' (x) = ∑ fb eibx ,

b

где b – вектор обратной решетки.

где Ω – объем элементарной ячейки.

Рассматриваем вблизи экстремума k = k’ = 0.

После всех преобразований получаем интегральное уравнение:

E(k ) F(k ) +∑Vвн (k −k ') F(k ') = E F(k ).

k '

Воспользуемся еще одним приближением:

где m* - эффективная масса.

84

Произведем обратное преобразование Фурье.

F(x) =∑F(k )eikx .

k

Суммирование по зоне Бриллюэна можно с хорошей точностью заменить суммированием по всему пространству.

Используя следующие замены:

F(k ) → F(x) , ki F(k ) →1i i F(x),

kik j F(k ) →−i j F(x) ,

∑Vвн (k −k ') F(k ') →Vвн (x)F(x) - операция свертки,

k '

В итоге получаем уравнение Шредингера в координатном представлении

−2 m2 * 2F(x) +Vвн(x)F(x) = E F(x) .

Влияние кристаллической решетки перешло в эффективную массу. А волновая функция имеет вид

где F(x) – огибающая волновой функции, определяемая эффективной массой и потенциалом внешнего поля.

Обезразмеривание уравнения Шредингера

Для повышения производительности расчета производится обезразмеривание уравнения Шредингера. Для этого поделим обе части уравнения на

Существуют два метода решения данной задачи:

1)решение в координатном представлении;

2)решение в К-представлении.

85