использование математики гарантирует точность, но не правильность получаемого решения.

Использование линейного и динамического программирования в экономическом анализе

Применительно к экономическому анализу сущность линейного программирования можно сформулировать как совокупность математических приемов, позволяющих в условиях ограниченных ресурсов по принятому критерию оптимальности из всех возможных вариантов хозяйственных решений (или из всех вариантов плана действий) выбрать один (оптимальный) или несколько наилучших (рациональных) вариантов. С помощью методов линейного программирования исчисляют: оптимальную производительность машин, агрегатов, поточных линий, решаются задачи оптимального раскроя материалов и т.п. Все такие задачи отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями. Ценность их использования заключается в выборе оптимального из большого количества альтернативных вариантов.

Задача может быть сформулирована следующим образом: рассмотрим производство, в котором участвует N ингредиентов (производственные факторы, сырье, промежуточные и конечные продукты). Имеется r технологических способов производства товара. Каждый из способов характеризуется вектором

as = (as1, as2,... , asN)

Положительные компоненты этого вектора показывают объем производства соответствующего ингредиента, отрицательные компоненты - затраты при применении способа с единичной интенсивностью. Например, аs =(-1, 2, -3) можно трактовать так: затрачивается 1 единица времени, производится 2 единицы продукта себестоимостью производства 3 единицы. Трактовка ингредиентов определяется физическим смыслом задачи. Оптимальный план определяется выбором вектора с неотрицательными компонентами, указывающими интенсивность

применения различных технологических способов π = (x1, x2,...xr), при котором товары и затраты характеризуются вектором

αiπ = ∑r ais xs s=1

128

Если απi > 0, то i -й ингредиент производится; если же απi < 0, то расходуется в размере абсолютной величины.

Первые m < N ингредиентов представляют расходуемые ресурсы (оборудование, рабочая сила, материалы, денежные средства и т.д.), по ним задаются ограничения вида

αiπ −∑r ais xs ≥bi s=1

Если bi > 0, то соответствующий ингредиент производится; если bi = 0, то соответствующий ингредиент не должен расходоваться; если bi < 0, то соответствующий ингредиент расходуется и расход его не должен превзойти |bi|

По остальным n = N - m ингредиентам необходимо добиваться максимального выпуска продукции с учетом требуемого ассортимента kj =(k1,k2,...kn), т.е.

Все другие задачи линейного программирования являются частным случаем этой общей задачи и могут быть сведены к ней.

Оптимальное решение может быть получено с помощью различных методов (последовательного улучшения плана или корректировки множителей Л.В.Канторовича, симплекс-метода или других методов в зависимости от класса сформулированной

129

− объем избытка продукции данного вида составляет

∆ = =1 + − ( )

− экономическую целесообразность внедрения в производство s0-ого технологического способа; новый технологический способ

экономически выгодно внедрять, если будет выполнено условие

≤ 0

=1

− экономическую целесообразность увеличения отдельных видов дефицитных ресурсов на величину ɛio . В последнем случае необходимо решать новую задачу, в которой в качестве

ограничения на дефицитный ресурс i выступает неравенство

≤0 0 + 0

=1

Если в результате решения новой задачи увеличится значение целевой функции, то увеличение объема этого вида ресурса экономически выгодно, в противном случае -

нет. В первом случае одновременно определяется

∆ 0( 0 + 0) − =1 0 ≤

где xs* - новое искомое оптимальное значение интенсивности использования технологических способов производства.

Возможности приобретения дополнительных дефицитных ресурсов представляют огромное поле для экономического анализа и выявления предпочтений их внедрения в производство.

Примером наиболее часто решаемой задачи нелинейного динамического программирования является задача логистики (оптимизация загрузки транспортного средства). В большинстве случаев такие задачи ЭВМ решает методом полного перебора вариантов. Более подробно данный класс задач изучается в курсе Логистики. Часть задач этого класса относится к задачам нахождения экстремума целевой функции.

130

Использование методов сетевого планирования в экономическом анализе

Сетевое планирование и управление предназначено для управления объектами любого типа, получившими название комплексов работ (комплексов операций, проектов, разработок, тем). Для выявления резервов ускорения выполнения комплексов работ широко используются в аналитической практике сетевые графики. Они представляют собой модель планируемого производственного процесса, элементами которого являются: событие, работа, ожидание, зависимость. Непрерывная последовательность проведения работ с учетом их зависимости в планируемом производственном процессе называется путем. В сетевом графике имеется несколько путей между начальным и конечным событиями. Длина пути определяется суммой продолжительности работ. Путь наибольшей длины между начальным и конечным событиями называется критическим. Его продолжительность определяет срок выполнения всего комплекса работ.

Работы, не находящиеся на критическом пути, в отличие от работ, лежащих на нем, имеют запасы времени. Выявление резервов времени позволяет маневрировать производственными ресурсами и тем самым достигать сокращения общих сроков выполнения комплекса работ или расхода ресурсов.

На основе сетевых графиков в настоящее время развернута система сетевого планирования и управления (СПУ). Она широко применяется в строительстве, при управлении крупными научнотехническими разработками, сложными проектами проектирования или выполнения индивидуальных заказов.

В этой модели исходной информацией является: сеть с единственным исходным i0 и единственным завершающим событием iw; продолжительность tij всех работ сети. Кроме того, исходная информация может содержать момент начала выполнения комплекса T(i0) = T0 и установленный срок завершения комплекса работ Tдир. Требуется составить план выполнения работ, т.е. определить момент начала Тн ij и окончания To ij выполнения каждой работы(ij), т.е. определить моменты наступления событий Ti и окончания Tj, удовлетворяющие условиям:

131

для всех таких работ, что работа (ij) предшествует (kl); Оптимизация модели сводится к расчету параметров:

−ранний срок начала и окончания работы

Tрн ij = Tр i, Tро ij = Tpi + tij;

−каждый срок начала и окончания работы

Tпн ij = Tpj - tij; Tпо ij = Тпj;

−резерв времени свершения события Ri = TпiTpi;

−критическое время (Ткр), т.е. минимальное время в течение которого может быть выполнен весть комплекс;

−критический путь (Lкр), т.е. путь, продолжительность которого равна критическому времени, т.е. Т(Lкр) = Tкр;

−резерв пути, характеризующий предельно допустимое увеличение продолжительности этого пути R(Li) = T(Lкр) - T(Li);

−полный резерв времени работы, показывающий максимальное время, на которое можно отсрочить начало или увеличить продолжительность работы, не изменяя директивный срок наступления завершающего события

rij = Tпн j - Tрн ij = Tпо ij - Tро ij ,

(при управлении эти работы заслуживают особого внимания, т.к. при небольших отклонениях в сроках их выполнения они становятся критическими);

− частный резерв времени работы, показывающий на какое время можно перенести начало работы или увеличить ее продолжительность без изменения начала выполнения последующих работ r/ij = Tрн jk - Tро ij , k>j

Кроме критических, из всех работ особо выделяются подкритические, у которых полный резерв отличается от минимального не более чем на заданную величину. Подкритические работы заслуживают особого внимания при выработке решений по управлению в связи с тем, что при небольших отклонениях в сроках выполнения они становятся

132