Теория.игр.2013

21

Таким образом, преобразованная задача игрока 1 будет выглядеть следующим образом:

F X1, X2 ,..., Xm X1 X2 ... Xm min.

Задачи (4.16) и (4.17) представляют собой симметричную пару взаимодвойственных задач линейного программирования. Решив одну из них симплекс-методом, и выписав из последней симплекс-таблицы

В том случае, когда хотя бы одна из задач (4.16), (4.17) является задачей с двумя неизвестными, она может быть решена графическим методом, а решение второй может быть получено при помощи теорем двойственности. Продемонстрируем решение задачи такой размерности на конкретном примере.

22

Пример:

оптимальные стратегии игроков 1 и 2, а также цену игры.

Решение:

В данной платежной матрице элементы третьей строки строго больше соответствующих элементов четвертой строки, следовательно, третья стратегия игрока 1 строго доминирует над его четвертой стратегией. Таким образом, в оптимальной смешанной стратегии игрока 1

позволяет уменьшить размерность матрицы, удалив из нее четвертую строку. Получим матрицу A1.

Для составления задач линейного программирования (4.15), (4.16) требуется, чтобы все элементы платежной матрицы были положительными. Руководствуясь замечанием данного параграфа,

Все элементы полученной матрицы положительны, что гарантирует положительность цены игры с платежной матрицей A3 , при этом A3 эквивалентна A2 , то есть оптимальные смешанные стратегии игроков 1 и

23

2 не изменились. Задачи (4.15), (4.16) для игры с платежной матрицей A3 имеют вид:

F X1, X2 , X3 X1 X2 X3 min.

Y1 ,Y2 0 .

Задача игрока 2, содержащая две неизвестные переменные, может быть решена графическим методом решения задач линейного программирования (рис. 4).

Областью допустимых планов задачи (4.21) является пятиугольник OABCD. G 1;1 - вектор – градиент целевой функции. Изображенный

на рисунке 4 вектор G сонаправлен с вектором G . Пунктирной линией, перпендикулярной вектору G , изображена линия уровня целевой функции. Оптимальной точкой области допустимых планов

24

является точка B , лежащая на пересечении прямых 1 и 3 . Для определения координат точки B решим систему линейных уравнений:

3Y1 8Y2 1,

9Y1 6Y2 1.

Получим:

Y1opt 271 ,

Y2opt 19 .

Оптимальное значение целевой функции Gmax 271 19 274 .

Задача (4.21) является двойственной к задаче (4.22). Для нахождения оптимального плана задачи (4.21) воспользуемся одной из теорем двойственности. Так как на оптимальном плане задачи (4.22) второе ограничение выполняется в виде строгого неравенства, оптимальное значение соответствующей ему двойственной переменной X 2opt 0. При этом, так как Y1opt 0 , Y2opt 0 , то оба ограничения задачи (4.21) выполняются на оптимальном плане в виде равенств. Таким образом, для того, чтобы найти оптимальные значения переменных X1 и X 3 , следует решить систему линейных уравнений:

3X1 9 X 3 1,

8X1 6X 3 1.

Получим:

X1opt 543 ,

X 3opt 545 .

При этом Fmin Gmax 543 545 274 .

Далее, применив формулы (4.17) - (4.19) получим цену игры и оптимальные стратегии игроков (1) и (2) в игре с платежной матрицей A3 :

25

Цена игры с платежной матрицей A2 , обозначим ее через V , согласно замечанию 2 может быть получена следующим образом:

V 274 6 43 .

Исходная игра с платежной матрицей A также имеет цену игры, равную

43 , оптимальные смешенные стратегии игроков 1 и 2 в исходной игре

5. Задачи для самостоятельного решения

1. Двухпальцевая игра Морра – матричная игра, в которую играли в Италии с античных времен. В эту игру играют два человека: каждый из них показывает один или два пальца и одновременно называет число пальцев, которое, по его мнению, покажет противник. Если только один из игроков угадывает правильно, он получает от другого сумму, равную сумме пальцев, показанных им и его противником, в противном случае –

min max ai j для полученной платежной матрицы.

j i

2. В трехпальцевой игре Морра игрок показывает один, два или три пальца и одновременно пытается угадать число пальцев, показанных его противником. Остальные правила такие же, как и в двухпальцевой игре Морра. Найти платежную матрицу и показать, что игра не имеет седловой точки.

3. Найти седловые точки следующих матриц:

26

4. Решить графическим методом игру с платежной матрицей

5. Найти нижнюю цену игры, верхнюю цену игры, определить седловые точки, оптимальные чистые стратегии и цену игры (если они существуют):

6. Выполнив возможные упрощения, решить игру графическим методом и найти оптимальные смешанные стратегии игроков и цену игры:

Библиографический список

1.Дмитриев В.Г. Основы линейного программирования. – СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2006.

2.Вентцель Е.С. Элементы теории игр. – М.: Физматгиз, 1961.

3.Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. – М.:

Наука, 1985.

4.Дюбин Г.Н., Суздаль В.Г. Введение в прикладную теорию игр. –

М.: Наука, 1981.

5.Фон Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. – М.: Наука, 1970.

6.Шеллинг Т. Стратегия конфликта. – М.: ИРИСЭН, 2007.

7.Колесник Г.В. Теория игр. – М.: Либроком, 2012.

8.Харшаньи Дж., Зельтен Р. Общая теория выбора равновесия в играх. – СПб.: Экономическая школа, 2001.

9.Мазалов В.В. Математическая теория игр и приложения. – СПб.:

Лань, 2010.

10.Розен В.В. Математические модели принятия решений в экономике. – М.: Высшая школа, 2002.

11.Меньшиков И.С. Лекции по теории игр и экономическому моделированию. – М.: МЗ Пресс, 2006.

12.Васин А.А., Морозов В.В. Теория игр и модели математической экономики. – М.: Макс-пресс, 2005.

28

Методические указания по теории игр для студентов СПбГЭУ

по дисциплинам «Методы оптимальных решений», «Математические методы и модели в принятии решений»

Редактор Е.Д. Груверман

Подписано в печать 22.05.13. Формат 60х84 1/16.

Усл. печ. л. 1,75. Тираж 50 экз. Заказ 228. РТП изд-ва СПбГЭУ.

Издательство СПбГЭУ. 191023, Санкт-Петербург, Cадовая ул., д. 21.