Теория.игр.2013

12

Теорема о минимаксе утверждает, что существует хотя бы одна пара смешанных стратегий P,Q , при которых максимальное и минимальное значения ожидаемых платежей совпадают:

max min PAQ V min max PAQ ,

P Q Q P

(где P рассматривается как вектор-строка, а Q - как вектор-столбец). Это означает, что любая конечная игра имеет седловую точку в пространстве векторов вероятностей. При этом V называют ценой игры.

Пример.

Рассмотрим игру с платежной матрицей A:

Матрица A не имеет седловой точки, поэтому для решения такой игры необходимо применение смешанной стратегии.

Допустим, например, что игрок 1 решает сделать свой выбор путем бросания монеты, выбирая первую стратегию, если выпадет орел, или вторую стратегию, если выпадет решка. В этом случае вероятности первой и второй стратегий равны 12 . Математическое ожидание для

игрока 1 при условии, что игрок 2 выбирает первую стратегию, равно

1 12 1 12 0 ,

если же игрок 2 выбирает вторую стратегию, то

1 12 1 12 0 .

Следовательно, если игрок 1 выбирает решение подобным способом, то математическое ожидание выигрыша равно нулю независимо от того, что предпримет игрок 2.

3. Вычисление оптимальных стратегий

3.1. Соотношения превосходств и концепция доминирования

Найдем оптимальные стратегии двух лиц, играющих в произвольную матричную игру размерности m n .

Простейшим является случай, когда у данной игры существует

седловая точка (i* ; j* ) . Тогда чистые стратегии i* и j* будут оптимальными для игроков 1 и 2 соответственно.

Исход игры в случае отсутствия седловой точки иногда можно предсказать однозначно, если исходить из предположения о том, что каждый игрок рационален. Рассмотрим так называемые соотношения превосходств. Важнейшими для нас в этой главе являются понятия

13

слабого и строгого доминирования. Дадим сначала формальное

l-й столбец, если:

1)aij ail для всех i 1,2,...,m. ;

2)aij ail , по крайней мере, для одного i .

В этом случае j - й столбец называется доминирующим, а l -й

столбец – доминируемым.

То есть говорят, что одна чистая стратегия слабо доминирует другую чистую стратегию, если выбор первой (доминирующей) стратегии, по крайней мере, не хуже выбора второй, а в некоторых случаях и лучше. Следовательно, игрок всегда может обойтись без доминируемых стратегий и использовать только доминирующие стратегии. Это очевидное предположение можно сформулировать следующим образом:

«Рациональный игрок не станет выбирать доминируемую стратегию».

Пример.

Дана игра с платежной матрицей A:

Ясно, что в исходной матрице второй столбец доминирует четвертый. Поэтому игрок 2 никогда не будет использовать свою

стратегию S42 , а, следовательно, ее можно исключить из рассмотрения: мы перешли от матрицы размерности 3 4 к более простой матрице размерности 3 3 (этот переход обозначен стрелкой).

В новой матрице третья строка доминирует первую. Значит, игрок 1 никогда не будет использовать стратегию S11 , следовательно, ее можно тоже исключить из рассмотрения. Таким образом, вычеркивая первую строку, мы получаем матрицу размерности 2 3.

14

Вэтой матрице третий столбец доминируется вторым.

Следовательно, вычеркивая его, приходим к простой матрице размерности

2 2 .

Врезультате сделанных упрощений оптимальные стратегии необходимо искать только лишь для матричной игры 2 2 .

Далее, пусть дана матрица A. Будем говорить, что i -я строка строго

доминирует k -ю строку, если aij akj для всех j . Аналогично, будем говорить, что j -й столбец строго доминирует l -й столбец, если aij ail

для всех i .

Стратегия называется строго доминирующей, если она строго доминирует любую другую стратегию. Естественно ожидать, что рациональный игрок выберет именно такую стратегию. Поэтому при наличии у каждого игрока строго доминирующей стратегии исход игры может быть предсказан однозначно.

3.2. Оптимальное решение игры 2х2

Допустим, имеется игра 2 2 с платежной матрицей A:

Представим данное математическое ожидание в виде:

M x; y 4 x 12 y 14 52.

Из такой записи видно, что если игрок 1 выбирает x 12 , то математическое ожидание его выигрыша будет равно 5/2. Более того, он не может обеспечить себе выигрыш более 5/2, так как игрок 2, выбрав y 14 , гарантирует себе, что ожидаемый выигрыш игрока 1 будет как раз 5/2 (и не больше). Поэтому игрок 2 может примириться с тем, что он получит –5/2 и не больше, выбрав y 14 .

Таким образом, оптимальный способ игры в этом случае для игрока

15

игры. Из (3.1) следует, что для всех x и y , лежащих в промежутке 0, 1 , справедливо соотношение:

3.3. Графический метод отыскания оптимального решения

Данный метод применим для решения игр, имеющих матрицы размерности 2 n и m 2 .

ожидание выигрыша игрока 1 в такой ситуации через M x; j , где j - номер стратегии игрока 2. Тогда математическое ожидание выигрыша для

игрока 1, если игрок 2 применяет чистую стратегию S12 , будет равно:

M x;1 2 x 7 1 x 7 5 x .

Аналогично, если игрок 2 применяет чистую стратегию S22 , то:

M x;2 3 x 5 1 x 5 2 x ,

а если игрок 2 применяет чистую стратегию S32 , то

M x;3 11x 2 1 x 2 9 x .

Дадим графическую интерпретацию решения. На плоскости введем ортогональную систему координат. По оси абсцисс отложим вероятность x . Тогда точки x = 0 и x =1 соответствуют тому, что игрок 1 выберет

чистые стратегии S11 и S21 соответственно. По оси ординат отложим

17

Из рисунка 1 видно, что стратегия S12 в оптимальном решении не участвует, следовательно, оптимальное решение для игрока 2 можно найти из приведенной матрицы вида

Решение легко определить графическим методом (рис. 2): пусть игрок 2 применяет смешанную стратегию y,1 y , а игрок 1 выбирает

выигрыша игрока 2 через M (i; y) , где i - номер стратегии игрока 1.Тогда имеем:

- для S11 : z M 1; y 3y 11 1 y 8y 11,

-для S21 : z M 2; y 5y 2 1 y 3y 2, z

11 A

y M (x; j); j 1,2,...,n (рис.1). Это справедливо для игр с матрицей 2 n .

Для игр с матрицей m 2 графическое решение аналогично, но в этом случае цена игры равна ординате нижней точки верхней огибающей графиков функций z M i; y ;i 1,2,...,m.(рис. 2)

Рассмотрим второй пример:

18

Пусть игрок 1 применяет смешанную стратегию x, 1 x , а игрок 2

– чистые стратегии, тогда (рис. 3)

получим систему уравнений:

M x;1 2 x 7 1 x 5 x 7 , M x;2 4 x 4 1 x 4 ,

M x;3 11x 2 1 x 9 x 2 .

Решая совместно второе и третье, а также второе и первое уравнения, находим:

y 4 ,

y 9 x 2 ,

откуда x p1 29, и

y 5 x 7,y 4 ,

откуда x p2 35 . Следовательно, оптимальной стратегией для игрока 1

является любая стратегия x,1 x , где 92 x 53 , при этом цена игры

V 4. Оптимальная стратегия для игрока 2 в этой игре равна 0,1,0 .

4.Применение методов линейного программирования

крешению матричных игр

Рассмотрим матричную игру A, как известно, имеющую решение в смешанных стратегиях. В третьей главе нами рассматривалось условие:

1 i m, 1 j n выполнялось условие

20

Замечание. Можно доказать, что оптимальные смешанные стратегии игроков 1 и 2 не изменятся, если ко всем элементам матрицы A прибавить

положительны. Тогда задачи игроков 1 и 2 можно упростить. Осуществим преобразования задачи игрока 1. Запишем задачу игрока 1 следующим образом:

V 1

разделив обе части каждого неравенства системы (4.9) на V 1 и используя обозначения (4.13), получим систему неравенств следующего вида: