1 Способ.

а) Пусть А – событие, что среди извлеченных три раза шаров окажется ровно два белых. Обозначим через В событие, что при однократном извлечении шар будет белым, тогда ему противоположное событие - шар будет черным. Событие А можно представить в виде:

,

где - первый и второй раз извлекли белый шар, а третий раз – черный;

– первый и третий раз извлекли белый, а второй раз черный;

– первый раз извлекли черный шар, а второй и третий раз – белый.

Так как слагаемые в А – несовместные события и каждое из произведений состоит из независимых событий, то по теоремам сложения и произведения вероятностей, получим:

По условию задачи всего в урне: 3 белых +4 черных = 7 шаров.

Так как после извлечения и определения цвета шар возвращается в урну, то вероятность события В – извлечен белый шар постоянная в каждом испытании.

(всего шаров семь, благоприятствующих случаев 3 – белых). Тогда

и

б) Пусть С – событие, что среди извлеченных с возвращением три раза шаров не менее двух белых. Событие С можно представить в виде:

(А – среди извлеченных два белых, а – три раза извлекли белые шары). Снова применим теоремы сложения несовместных событий и произведения независимых событий:

2 Способ.

Как отмечали, что извлечение шаров с возвратом – независимые испытания и в каждом испытании вероятность события В – извлечен белый шар, постоянна (и при n=3 ,), то имеем испытания Бернулли. Вероятности можно вычислять по формуле Бернулли:

Здесь kозначает, что белый шар будет извлечен kраз из шаров, число сочетаний из поk.По условию задачи:

а) имеем:

,

б) вероятность того, что из трех извлеченных шаров окажется не менее двух белых (т.е. два или три белых шара)

Тренинг умений: [2] №№46,49,66,78,80,110,119,125

Задача 1.3

В урне находиться 5 белых и 5 черных шаров. Три шара последовательно извлекаются без возвращения их в урну. Найти вероятность того, что третий по счету шар окажется белым.

Решение:

Пусть А – случайное событие, что третий по счету извлеченный шар белый. Это событие можно представить как сумму четырех несовместных событий:

– первый, второй и третий шары белые;

- первый шар черный, второй и третий белые;

- первый и второй шары черные, третий – белый;

- первый и третий шары белые, второй – черный.

А = + + +

По формуле суммы несовместных событий:

P(А) = P +P +P +P

В каждом слагаемом события между собой зависимы, так как шары после извлечения в урну не возвращаются.

По условию в урне 5 белых шаров и 5 черных шаров. Всего шаров 5+5=10. Будем использовать классическое определение вероятности и теорему умножения для зависимых событий:

(всего шаров 10, 5 – белых)

(после извлечения первого белого шара в урне остается 9 шаров, среди которых 4 белых)

(после извлечения первого и второго белых шаров, в урне осталось 8 шаров, среди которых 3 белых)

Таким образом имеем:

Аналогично рассуждая, получим:

Искомая вероятность:

Тренинг умений: [2] №№89,97106,107.

Тема 2: случайные величины.

Общие указания.

Кроме случайных событий и вероятностей их появления, в теории вероятностейи математической статистики изучают случайные величины – величины, которые в результате испытания принимают те или иные значения в зависимости от исхода испытания. Через понятия случайные события и случайная величина осуществляется связь с действительными числами.Для решения задач по теме 2. Случайные величины нужно уяснить:

1. Рассматриваются случайные величины двух типов – дискретные и непрерывные.

2. Дискретная случайная величина полностью определяется своим законом распределения – таблицей, в которой перечислены все значения и вероятности, с которыми она принимает эти значения.

3. Универсальным способом задания случайной величины является функция распределения – вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее произвольно выбранного значения действительного числа х:

,

где - пробегает все без исключения значения на действительной числовой оси ОХ.

4. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна на всей оси ОХ. При изучении непрерывных случайных величин основным понятием является плотность вероятности:

.

5. При решении задач используются свойства закона распределения случайной величины, функции распределения и функции плотности .

6. Случайные величины удобно характеризовать с помощью нескольких числовых характеристик – определяющих свойства случайной величины. Это – параметры распределений. К основным из них относятся математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Необходимо знать формулы для их вычисления как для дискретных, так и для непрерывных величин и вероятностный смысл каждого параметра.

7. Задачи 2.3 и 2.4 требуют знаний основных законов распределения случайных величин и их числовых характеристик: биноминальное, геометрическое, пуассоновское, равномерное, показательное и нормальное распределения.

Задача 2.1

Закон распределения дискретной случайной величины имеет вид:

	-2	-1	0	3	6
	0,2	0,1	0,2

Найти вероятности р₄ , р₅, и дисперсию DX, если математическое ожидание

Решение:

Для дискретной случайной величины справедливы формулы:

, , где k – число значений случайной величины

1. В рассматриваемой задаче указанные соотношения представляются системой уравнений с неизвестными и :

Для определения и в систему уравнений подставляем известные чи­словые значения:

Получим систему, решая которую определим и :

2. Дисперсия случайной величины Х находиться по формуле:

где математическое ожидание квадратов случайной величины; квадрат математического ожидания.

Тренинг умений: [2] №№188,192,210,215,218

Задача 2.2

Плотность распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:

Найти:

а) параметр а;

б) функцию распределения ;

в) вероятность попадания случайной величины Xв интервал

г) математическое ожидание и дисперсию .

д) построить графики функций и .

Решение:

Используя свойства функций плотности и распределения, найдем:

а) Если все значения случайной величины принадлежат промежутку [], параметр а находиться из условия (условие нормировки)

Вычислим :

Отсюда, функция плотности распределения:

б) Функцию распределения находим по формуле:

.

При :

.

При :

При :

Функция распределения примет вид:

в) Вероятность попадания случайной величины в интервал (4.5; 7) можно вычислить двумя способами: